Hallo,
wie kann man aus einem Potenzmittel das geometrische Mittel herausbekommen. Laut einigen Internetseiten wird behauptet, man setzt 0 ein. Aber wie ist die 0-te Wurzel denn definiert?
Kann jemand mir das beweisen? Danke
off Topic
Hallo,
bei der Suche bin ich auf dieses PDF gestossen:
http://fsmath.mathematik.uni-dortmund.de/Infos_Unter…
Da soll noch mal einer sagen mathematische Aufgabenstellungen sind humorlos.
Gruß
Oliver
Moin,
wie kann man aus einem Potenzmittel das geometrische Mittel
herausbekommen. Laut einigen Internetseiten wird behauptet,
man setzt 0 ein. Aber wie ist die 0-te Wurzel denn definiert?
schreib doch mal auf, was Du meinst (also ne Formel), speziell was ein „Potenzmittel“ sein soll.
Und die 0-te Wurzel ist wohl nicht definiert, das wäre ja irgendwas hoch 1/0.
Olaf
schreib doch mal auf, was Du meinst (also ne Formel), speziell
was ein „Potenzmittel“ sein soll.
Am einfachsten und am schönsten findet man es in Wikipedia unter Mittelwerte. Dieser Behauptung ist auch in meinem Anascript und in einigen anderen zu finden. Aber eine Begründung fiel flach. So nach dem Motto wmls.
geometrisches Mittel: n-te Wurzel aus dem Produkt aller x - Werte
Potenzmittelwert von k: k-te Wurzel aus (dem Summe aller x^k durch die Anzahl)
Der Satz von Cauchy besagt dann, dass x(-infty)
Aber x(0) = geometrisches Mittel versteh ich nicht (aus dem
genannten Grund der Division durch 0).
Du musst für den Fall des geometrischen Mittels eine Granzwertbetrachtung machen und nicht 0 einsetzen.
Einen Beweis dazu bekomme ich aus dem Stehgreif und ohne Literatur leider auch nicht hin.
Ich hoffe ich konnte wenigstens ein wenig zur Klärung beitragen.
Gruß Yelmalio
MOD: Überflüssige Zitatteile gelöscht.
Hallo,
OK, jetzt verstehe ich, worum es geht. „Potenzmittel“ ist wirklich ein unglücklicher Ausdruck, „Potenzmittelwert“ klingt gleich viel besser.
Diese Aussage, dass es für k --> 0 das geometrische Mittel wird, stimmt tatsächlich, es ist ja ein Grenzwert. Schreib Dir doch mal links dieses Potenzmittel hin und rechts das geometrische Mittel. Und dann ein bisschen umformen, und wegen k --> 0 darfst Du schön vereinfachen, z.B. exp(k) = 1+k verwenden oder auch a hoch k = 1+k*ln(a).
Na jedenfalls hat das bei mir auf dem Schmierzettel nach einigen Umformungen zum Schluss doch auf eine wahre Aussage geführt, also scheint es zu stimmen. Ich habe nur leider keine Zeit, das jetzt sauber aufzuschreiben.
Olaf
Du musst für den Fall des geometrischen Mittels eine
Grenzwertbetrachtung machen und nicht 0 einsetzen.
Einen Beweis dazu bekomme ich aus dem Stehgreif und ohne
Literatur leider auch nicht hin.
OK. Deswegen habe ich es nicht versucht, weil ich auch nicht weiter komme (mit meinen Wissen darüber). Trotzdem Danke
Schreib Dir doch mal links dieses Potenzmittel hin und rechts das
geometrische Mittel. Und dann ein bisschen umformen, und wegen
k --> 0 darfst Du schön vereinfachen, z.B. exp(k) = 1+k
verwenden oder auch a hoch k = 1+k*ln(a).
Irgendwie komme ich nicht so weit, dass ich ein exp(k) bekomme.
Kannst vielleicht doch noch ein paar Schritte mehr schreiben?
Irgendwie komme ich nicht so weit, dass ich ein exp(k)
bekomme.
Kannst vielleicht doch noch ein paar Schritte mehr schreiben?
Hm, davor wollte ich mich eigentlich drücken. Ich weiß auch nicht, ob das ein mathematisch exakter Beweis ist.
OK, ich versuchs mal. Ich schreibe mal S für Summenzeichen und P für Produktzeichen, jeweils für i=1 bis n.
Das „Potenzmittel“ sieht dann so aus:
(1/n * S xik)1/k
Und daraus soll für k --> 0 dann das geometrische Mittel werden, nämlich
( P xi)1/n
Ich verwende jetzt gleich die folgenden Tatsachen:
Jede Zahl a kann ich als exp(ln(a)) schreiben.
Für k --> 0 ist exp(k*irgendwas) = 1 + k*irgendwas
ln von einem Produkt ist Summe der ln
ln von ab ist b*ln(a)
So, jetzt also los:
(1/n * S xik)1/k =
(1/n * S exp(ln(xik)))1/k =
(1/n * S exp(k * ln(xi)))1/k =
(1/n * S (1 + k * ln(xi))1/k =
(1/n * (n + k * S ln(xi)))1/k =
(1 + k/n * S ln(xi))1/k =
(1 + k/n * ln P (xi))1/k =
na, noch wach? Jetzt schreibe ich für 1 + k*irgendwas wieder exp(k*irgendwas):
(exp(k/n * ln P (xi)))1/k =
exp(1/n * ln P (xi))=
exp((ln P (xi))1/n)=
( P xi)1/n
Naja, das wars dann doch schon.
Wehe Du arbeitest das nicht durch! Wenn Du nen Schritt nicht verstehst, dann frage nochmal.
Ansonsten Frohe Pfingsten.
Olaf
Vielen Dank erstmal für deine Ausführung. Nun diesen Ansatz hätte ich nicht gefunden. Ist aber sehr gut nachvollziehbar.
Ich hatte noch einen eigenen Ansatz versucht, der aber nicht so gut ist:
(1/n * S (xi^k))^(1/k) = ( P xi)^(1/n)
(1/n * S (xi^k))^n = ( P xi)^k
(1/n * S (xi^k))^n = P (xi^k)
mit k -> +0 :
(1/n * S (xi^0))^n = P (xi^0)
(1/n * S 1)^n = P 1
(1/n * n)^n = P 1
1^n = 1
mit k -> -0 :
(1/n * S (xi^-0))^n = P (xi^-0)
(1/n * S (1/xi^0))^n = 1/ P (xi^0)
(1/n * S (1/xi^0))^n = 1/ P (xi^0)
(1/n * S (1/1))^n=1
(1/n * n)^n=1
1^n=1
Denkst du, der ist korrekt?
Hallo,
nein, ich glaube, dass Deine Herleitung „zu einfach“ ist. Du setzt ja einfach k=0 und somit xk = 1. Aber es soll ja nicht k=0 sein sondern k --> 0, somit müsste man noch das nächste Glied in der Taylor-Entwicklung berücksichtigen.
k --> -0 muss man bestimmt nicht untersuchen.
Vielleicht kann ja ein Mathematiker mal was dazu sagen.
Olaf