Angenommen ich habe die Gerade:
h= (2/3/4)+ r(2/1/1)
und ferner soll g= (x/y/z) + s(4/2/2) gleich h sein. (Geraden sollen also identisch sein)
Ich habe schließlich das Problem mit einem Gleichungssystem mit 4 Gleichungen (2 Punkte auf der Geraden) gelöst. Nun meine Frage: Gibt es eine einfachere Möglichkeit?
Und ist es korrekt dass es unendlich viele (x/y/z) gibt die g = h machen?
Hi Ben,
Angenommen ich habe die Gerade:
h= (2/3/4)+ r(2/1/1)
und ferner soll g= (x/y/z) + s(4/2/2)
gleich h sein. (Geraden sollen also
identisch sein)
Ich habe schließlich das Problem mit
einem Gleichungssystem mit 4 Gleichungen
(2 Punkte auf der Geraden) gelöst.
Das geht, aber es geht auch viel simpler.
Nun
meine Frage: Gibt es eine einfachere
Möglichkeit?
Ja! Setze g = h. Das führt auf die Gleichung
(2/3/4)+ r (2/1/1) = (x/y/z) + s(4/2/2)
Da der Vektor/das Zahlentripel (x/y/z) gesucht ist, löst Du diese Gleichung nach (x/y/z) auf. Du erhälst:
(x/y/z) = (2/3/4) + r(2/1/1) + s(4/2/2)
Die rechte Seite rechnest Du aus, so daß dort dann nicht eine Vektorsumme aus drei Summanden sondern ein Vektor steht, dessen Komponenten Summen aus drei Summanden sind:
(x/y/z) = (2+2r+4s/3+r+2s/4+r+2s)
Jetzt kommt ein entscheidender Schritt: Du klammerst in der ersten Komponente r+2s aus!
Das führt auf:
(x/y/z) = (2+2(r+2s)/3+r+2s/4+r+2s)
Wenn r und s nun alle Werte aus IR durchlaufen, dann tut dies auch die Summe r+2s. Das heißt aber, daß Du für r+2s auch einfach t (neue Variable) schreiben darfst:
(x/y/z) = (2+2t/3+t/4+t) wobei t aus IR.
Damit ist die Aufgabe gelöst.
Und ist es korrekt dass es unendlich
viele (x/y/z) gibt die g = h machen?
Es ist.
Du fragst Dich vielleicht, was gewesen wäre, wenn der obige von mir als entscheidend bezeichnete Ausklammerschritt gar nicht funktioniert hätte, weil die rechte Seite in einer Zeile weiter oben nicht „(2+2r+4s/3+r+2s/4+r+2s)“ sondern „(2+2r+ 5 s/3+r+2s/4+r+2s)“ gelautet hätte. Die Antwort ist, daß der Ausklammerschritt immer funktionieren muß! Und zwar deshalb, weil die Richtungsvektoren der Geraden (in der Aufgabe (2/1/1) und (4/2/2)) linear abhängig, also Vielfache voneinander sein müssen. Sollte der Ausklammerschritt einmal nicht funktionieren, dann sind die Geraden immer ungleich.
Mit freundlichem Gruß
Martin
Angenommen ich habe die Gerade:
h= (2/3/4)+ r(2/1/1)
und ferner soll g= (x/y/z) + s(4/2/2)
gleich h sein. (Geraden sollen also:identisch sein)
Ich habe schließlich das Problem mit
einem Gleichungssystem mit 4 Gleichungen
(2 Punkte auf der Geraden) gelöst. Nun
meine Frage: Gibt es eine einfachere
Möglichkeit?
Auch ich finde: es gibt. Allerdings bin ich nicht HyperMatheGenie. Wenn ich das aber so anschaue, habe ich hier zwei linear abhängige Richtungsvektoren (2/1/1) & (4/2/2), d.h. wenn Du diese Vektoren auf ein Blatt aufzeichen würdest, so hätten sie exakt dieselbe Richtung, allerdings nicht die gleiche Länge (Betrag), das ist hierzu aber irrelevant. Was Du jetzt brauchst, ist noch irgendein Wert für deinen Stützvektor/Ortsvektor (x/y/z)!
Dann nimm doch einfach den Punkt der anderen Gerade (h)! --> (2/3/4), der einzige Punkt von dem Du auch ohne Rechnung weisst, das er auf h liegt! Dann MUSS g ja auf h zu liegen kommen, sie haben die selbe Richtung und dann auch noch einen Gemeinsamen Punkt. Finito.
Und ist es korrekt dass es unendlich
viele (x/y/z) gibt die g = h machen?
Ja ist es. Alle Punkte auf der Geraden h würden sich dazu eigen, da die Richtung ja dieselbe sein muss, um g=h hinzukriegen.
Lieber Gruss und viel Erfolg
Samuel Rentsch