Dein Text ist ein bisschen verworren. Ich schildere darum erst einmal, was ich verstanden habe bzw. vermute und als Grundlage meiner Antwort verwende:
Ein Pflichtteilsberechtigter P verlangt vom Erben E Auskunft über das Erde, z.B. indem er einen Brief schreibt. E weigert sich, die Auskunft zu erteilen. Daraufhin beauftragt P einen Rechtsanwalt R mit der Wahrnehmung seiner rechtlichen Interessen. P schreibt den E auch an und erhebt, als dieser wieder nicht erfüllt, namens und im Auftrag des P Klage. E wird rechtskräftig verurteilt, dem P die Auskunft zu erteilen und die Kosten des Rechtsstreits zu tragen.
Die Kosten des Rechtsstreits, wie sie mit dem Ausspruch im Urteil gemeint sind, haben wir ja schon behandelt. Es handelt sich im Wesentlichen um die eigentlichen Gerichtskosten, die P nämlich bei Klageerhebung an das Gericht zahlen musste, und Ps Anwaltskosten, soweit sie die Tätigkeit des R im Verfahren betreffen, also z.B. die Klageerhebung selbst und die Terminswahrnehmung.
Offen bleiben damit die Kosten, die P durch das außergerichtliche Tätigkeitwerden des P entstanden sind. Dies sind keine Kosten des Rechtsstreits im Sinne des Urteils. In dem Beispiel, wie ich es hier schildere, wäre E aber mit der Erteilung der Auskunft in Verzug geraten. Die Aufforderung, die Auskunft zu erteilen, ist nämlich gleichzeitig eine Mahnung i.S.v. § 286 BGB, und wer auf eine Mahnung nicht leistet, der befindet sich im Verzug.
Folge dieses Verzugs ist, dass P, um seinen Anspruch durchzusetzen, auf rechtlichen Beistand angewiesen war. Er „musste“ also einen Rechtsanwalt beauftragen und dafür Geld investieren. Dieses Geld ging dem P nur deshalb verloren, weil E den Anspruch des P rechtswidrig nicht erfüllt hat. Dafür muss E dem P dessen Anwaltskosten erstatten.
Der Anspruch auf Ersazt des Schadens ist wie der Anspruch auf Auskunft ein solcher, den E nun freiwillig erfüllt oder eben nicht. Tut er es nicht, muss bzw. kann der Anspruch ebenfalls eingeklagt werden. In aller Regel wird er schon mit der ersten Klage geltend gemacht.
Beispiel: B schuldet K die Summe x, zahlt aber nicht. K mahnt B vergeblich und beauftragt dann einen Anwalt, der B ebenfalls vergeblich mahnt und dann Klage erhebt. Die Kosten für den Anwalt des K belaufen sich auf y Euro. Dann wird in der Klage regelmäßig Folgendes stehen:
Ich beantragte,
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den B zu verurteilen, an den K x Euro […] zu zahlen,
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den B zudem zu verurteilen, an den K weitere y Euro […] zu zahlen.
Man kann beides aber auch getrennt geltend machen. Dadurch erhöhen sich allerdings die Gerichtskosten.