Geringster Abstand zwischen windschiefen Geraden

Wissenschaft Mathematik
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Hallo,

hatte gestern eine „Probe“-Prüfung für mein Mathe-Examen und wurde dabei mit der Frage konfrontiert, wie man den GERINGSTEN Abstand zwischen 2 windschiefen Geraden findet.

Also: Abstand zwischen 2 windschiefen Geraden über einen selbstgewählten Punkt auf einer der Geraden ist mir klar, dazu bestimme ich eine Ebene aus der einen Geradenfunktion, und berechne den Abstand des selbstgewählten Punktes auf der 2. Gerade zu dieser Ebene.

Aber, wie gesagt, wie finde ich den geringsten Abstand, wenn sich die 2 Geraden nie schneiden??

Danke für die Infos,
dc1509

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Moin,

Aber, wie gesagt, wie finde ich den geringsten Abstand, wenn
sich die 2 Geraden nie schneiden??

http://de.wikipedia.org/wiki/Windschief
sollte es kompakt und bündig erklären.

Gruß,
Ingo

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Hallo,

Tipp: Die kürzeste Verbindung zwischen den Geraden muss auf BEIDEN Geraden senkrecht stehen. Vielleicht hilft das.

LG
Jochen

4

Danke,
habe in wikipedia nachgesehen, aber obwohl ich mich lange mit Linearer Algebra beschäftigt habe, finde ich doch dort nicht heraus, wie ich die Koordinaten des Punktes wähle, der, wenn senkrecht auf der Ebene der anderen Geraden, dann wirklich der nächstliegende ist?
Gruß
Christine

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Hallo,

wenn ich aus der 1. Geraden eine Ebenengleichung mache, dann steht doch die 2. Gerade senkrecht auf der Ebene?

D.h., ich kann jeden Punkt der 2. Geraden nehmen, weil die Gerade dann parallel zur Ebene ist?

Oder liege ich damit ganz falsch?

Danke, Christine

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Hallo Christine,
für meine Begriffe die einfachste Lösungvariante ist die:
du wählst auf jeder Geraden einen „laufenden Punkt“,z.B. P und Q,also je einen allgemeinen Geradenpunkt. (der hat dann Koordinaten wie z.B. (1+t/2-3t/3+4t) wenn Vektor (1/2/3)der Stützvektor und Vektor (1/-3/4) der Richtungsvektor ist. ) Achte darauf, dass die Geradenparameter verschieden sind!
Verbinde diese „laufenden Punkte“ durch einen Vektor PQ. (Stell dir vor, die Punkte laufen wirklich auf den Geraden hin und her, der Verbindungsvektor ist eine Gummistrippe, die sich dehnt).
An der Stelle, wo die beiden Geraden den kürzesten Abstand haben, ist der Vektor PQ - die Gummistrippe - senkrecht zu beiden Geraden, also sein Skalarprodukt mit beiden Richtungsvektoren gleich Null. Damit erhältst du zwei Gleichungen mit zwei Variablen (den Geradenparametern), die du lösen kannst. In P und Q eingesetzt ergeben sie die Punkte, die sich am nächsten sind, in Vektor PQ eingesetzt den Vektor der kürzesten Verbindung. Dessen Länge ist der gesuchte Abstand.
Klar?
Gruß Orchidee

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Liebe Beatrice,
ich habe das so weit verstanden, dass ich einen Punkt auf g1 finden muss, dessen Skalarprodukt mit dem Vektor PQ gleich 0 ist, und dann auf g2 einen 2. Punkt, für den das Gleiche gilt. Richtig?

Jetzt verstehe ich aber nicht, wie ich daraus zwei Gleichungen machen kann, denn dann hätte ich ja 2 neue Geraden?! Bitte ab diesem Punkt noch etwas Nachhilfe, vielen Dank.
Gruß
Christine