Guten Tag,
hat jemand hier eine Idee oder einen Ansatz, wie ich von der Gesamtenergie hin zur Zeit differenzieren können um so die Newtonsche Bewegungsgleichung herzuleiten?
Danke im Voraus.
Hallo!
hat jemand hier eine Idee oder einen Ansatz, wie ich von der
Gesamtenergie hin zur Zeit differenzieren können um so die
Newtonsche Bewegungsgleichung herzuleiten?
Die Gesamtenergie:
E = 1/2 mv² + V(x)
(V(x) sei die potenzielle Energie). Wir leiten diese Gleichung nach der Zeit ab. Mit v = dx/dt und E = const. folgt:
0 = d/dt ( 1/2 m (dx/dt)² + V(x))
Bei der Ableitung beider Terme muss man die Kettenregel beachten:
0 = m * dx/dt * d²x/dt² + dV(x)/dx * dx/dt
Wir dividieren durch dx/dt und erhalten:
0 = m * d²x/dt² + dV(x)/dx
Konservative Kräfte lassen sich immer als den Gradienten eines Potenzials schreiben: F = - grad V. Das bedeutet für den hier verwendeten eindimensionalen Fall: F = - dV/dx.
Es folgt:
0 = m * d²x/dt² - F
bzw.
F = ma
voila!
Michael
Vielen Dank für die ausführliche und nette Erläuterung, Michael Bauer!
Nur einen Punkt verstehe ich nicht:
Es folgt:
0 = m * d²x/dt² - F (I)
bzw.
F = ma (II)
voila!
Michael
Wie kommt man von der einen Gleichung (von mir als (I) markiert) zu der anderen (II)? Bzw. woher kommt mein ‚a‘ plötzlich?
Ok, und noch etwas ist mir unklar:
Wieso darf man die potentielle Energie einfach als v(x) umschreiben?
Vielen Dank nochmals. 
Es folgt:
0 = m * d²x/dt² - F (I)
bzw.
F = ma (II)
voila!
Michael
Wie kommt man von der einen Gleichung (von mir als (I)
markiert) zu der anderen (II)? Bzw. woher kommt mein ‚a‘
plötzlich?
Das ist die Definition der Beschleunigung:
a = dv/dt = d²x/dt²
Michael
Wieso darf man die potentielle Energie einfach als v(x)
umschreiben?
Nicht als v(x), sondern als V(x)!!!
v ist natürlich die Geschwindigkeit. Damit hat die potenzielle Energie überhaupt nichts zu tun. Wie man die potenzielle Energie abkürzt, ist jedem selbst überlassen. In der theoretischen Physik wird die kinetische Energie häufig mit T und die potenzielle Energie häufig mit V oder U abgekürzt. Wenn Dir V nicht gefällt, kannst Du sie auch „U“, „E_pot“, „W_L“ oder sonstwie nennen. Das ist Geschmackssache. Entscheidend ist, dass die potenzielle Energie vom Ort (und sonst von nichts) abhängt. Deswegen V(x).
Michael
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