Gesamtwiderstand berechnen

Wissenschaft Physik
1

Hallo,
Wie kann ich den Gesamtwiderstand vollgendendem Schaltplanes berechnen?
http://www.bilder-space.de/show.php?file=28.09ZmBPZ7…

gruß
GURKE

2

Stern-/Dreieck-Umwandlung machen
Ob du die Dreiecke R1, R2, R3 bzw. R3, R4, R5 oder die beiden Sterne R1, R3, R4 oder R2, R3, R5 umwandelst bleibt dir überlassen.

Du kannst ja zum Üben alle 4 Varianten durchspielen. Dann setzt sich die Formel auch besser.

Im Ergebnis erhälst du einfache Parallelschaltungen, die du entweder über die Formel für Parallelschaltungen, oder indem du mit den Leitwerten rechnest ganz einfach aufdröseln kannst.

Gruß

Stefan

3

Hossa :smile:

Deine Schaltung

 |-----R1-----|-----R4-----|
 | | |
--| R3 |--
 | | |
 |-----R2-----|-----R5-----|

kannst du etwas anders zeichnen

 /|-----R4-----|
 / | |
 R1 | |
 / | |
--- R3 |--
 \ | |
 R2 | |
 \ | |
 \|-----R5-----|

und dann die Dreieck-Schaltung durch eine Stern-Schaltung ersetzen

 /-----R4-----|
 / |
 s |
 / |
----r---- |--
 \ |
 t |
 \ |
 \-----R5-----|

Die Dreieck-Stern-Umwandlung hat schöne symmetrische Formeln:

1----- R -----2 1 2
 \ / \ /
 \ / s t
 S T ===\> \ /
 \ / |
 \ / r
 \ / |
 3 3

r=\frac{ST}{R+S+T}
s=\frac{RT}{R+S+T}
t=\frac{RS}{R+S+T}

Hast du die Umwandlung gemacht, ist der Gesamtwiderstand wieder leicht auszurechnen (r vorne weg und dann (s+R4) und (t+R5) parallel geschaltet).

Viele Grüße

4

Moin,
Danke für diese Ausführliche Antwort! Habe ich jetzt verstanden :wink:

Gruß
GURKE

5

Hallo,

Wie kann ich den Gesamtwiderstand vollgendendem Schaltplanes
berechnen?
http://www.bilder-space.de/show.php?file=28.09ZmBPZ7…

das lässt sich mit einer Stern-Dreieckumwandlung bewerkstelligen, aber es geht auch elementar:

Zunächst vervollständigst Du das Gebilde mit einer Spannungsquelle…

 B
 +----R1----o----R4----+
 I | | |
 --\> | | |
 +-----o A R3 D o-----+
 | | | | |
 | | | | |
 | +----R2----o----R5----+ |
 | C |
 | |
 (+) |
 U |
 (-) |
 | |
 | |
 | |
 | |
 +---------------------------------+

…zu einem geschlossenen Stromkreis. Das entstandene Gleichstromnetzwerk hat dann k = 4 Knoten (A, B, C, D) und z = 6 Zweige (A–B, B–D, A–C, C–D, B–C, D–U–A). Folglich hast Du genau 3 Knotengleichungen (allgemein k – 1) und genau 3 Maschengleichungen (allgemein z – k + 1) gemäß den beiden Kirchhoffschen Regeln aufzustellen:

Knoten A:   I – i1 – i2 = 0
Knoten B:   i1 – i3 – i4 = 0
Knoten C:   i2 + i3 – i5 = 0
Masche ABCA: –R1 i1 – R3 i3 + R2 i2 = 0
Masche BCDB: –R3 i3 – R5 i5 + R4 i4 = 0
Masche ACDUA: –R2 i2 – R5 i5 + U = 0

Das Aufstellen dieser Gleichungen geht ganz schematisch: Für einen Knoten werden einfach alle Ströme aufsummiert, wobei alle zufließenden Ströme ein Plus und alle wegfließenden ein Minus als Vorzeichen bekommen. Für die Maschen gibt es eine analoge Regel. Näheres dazu siehe hier:

http://de.wikipedia.org/wiki/Kirchhoffsche_Regeln

Dabei habe ich die Richtungen der Ströme wie folgt definiert: I soll einen positiven Wert haben, wenn er im Uhrzeigersinn fließt, i1, 2, 4, 5 seien positiv, wenn sie von links nach rechts fließen, und i3 sei positiv, wenn er von oben nach unten fließt.

Die obigen Gleichungen bilden ein homogenes LGS mit 6 Gleichungen für 7 Unbekannte (i1, 2, 3, 4, 5, U, I). Genau eine der Unbekannten kannst Du also frei vorgeben, wodurch sie zu einer „Bekannten“ wird. Da Du weißt, dass U proportional zu I ist (der Proportionalitätsfaktor ist ja gerade der gesuchte Ersatzwiderstand), entscheidest Du Dich am besten für I als vorgegebene Größe und fragst nach der zugehörigen Spannung U, auf die die Quelle eingestellt werden muss, damit sie diesen I starken Strom fließen lässt. Dann liegt ein (jetzt inhomogenes) LGS mit 6 Gleichungen für 6 Unbekannte (i1, 2, 3, 4, 5, U) vor, das in Matrixnotation so aussieht:

\left(\begin{array}{cccccc}
1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\
1 & 0 & -1 & -1 & 0 & 0\
0 & 1 & 1 & 0 & -1 & 0\
-R_1 & R_2 & -R_3 & 0 & 0 & 0\
0 & 0 & -R_3 & R_4 & -R_5 & 0\
0 & -R_2 & 0 & 0 & -R_5 & 1
\end{array}\right)
\left(\begin{array}{c}
i_1 \ i_2 \ i_3 \ i_4 \ i_5 \ U
\end{array}\right)

\left(\begin{array}{c}
I \ 0 \ 0 \ 0 \ 0 \ 0
\end{array}\right)

Für die Ersatzwiderstandsberechnung ist nur eine Unbekannte interessant, nämlich U.

Dieses LGS kannst Du mit einer Methode Deiner Wahl (Gauß-Elimination, Determinanten etc.) per Hand oder per CAS auflösen. Da das Netzwerk linear ist, muss die Gleichung für U die Form U = …/… I haben, wobei der Bruch …/… den gesuchten Ersatzwiderstand RE = U/I darstellt.

Mit diesem Verfahren kann man übrigens ausnahmslos alle Netzwerke berechnen, auch solche, in denen weder Dreierknoten noch Dreiecke vorkommen, so dass dann keine Stern-Dreieck-Umwandlung möglich wäre.

Gruß
Martin

PS: Du kannst natürlich auch andere Knoten und andere Maschen nehmen. Dann würdest Du zwar ein anderes LGS bekommen, aber immer ein zu dem obigen äquivalentes. Die Lösung bliebe also die gleiche.