Man stelle sich vor: ein Boot fährt mit einer Geschwindigkeit von 3km/s auf einem Fluß, der eine Eigengeschwindigkeit von 1m/s besitzt.
So würde sich flußabwärts eine Geschwindigkeit von 4m/s ergeben und flußaufwärts eine Geschwindigkeit von 2m/s.
Warum läßt sich diese Fahrzeit (einmal Fluß hoch und wieder runter)nun nicht mit einer mittleren Geschwindigkeit von 3m/s berechnen, wo man doch flußabwärts mit Strömung fährt und flußaufwärts die gleiche Strecke zurücklegt, so könnte man doch die Flußgeschwindigkeit völlig außer Acht lassen.
Hi Julia, (es ist hier üblih sich zu grüßen)
so könnte man
doch die Flußgeschwindigkeit völlig außer Acht lassen.
Fluß fließt mit 3 km/h, Boot fährt mit 2,5 km/h.
Geschwindigkeit flussabwärts 5,5 km/h
Geschwindigkeit flussaufwärts - oups!
Klar?
Gandalf
Hallo erstmal.
Man stelle sich vor: ein Boot fährt mit einer Geschwindigkeit
von 3km/s auf einem Fluß, der eine Eigengeschwindigkeit von
1m/s besitzt.
So würde sich flußabwärts eine Geschwindigkeit von 4m/s
ergeben und flußaufwärts eine Geschwindigkeit von 2m/s.
Klingt nach immer wieder gern genommenen Rätselaufgabe. In diesen ist
die zurücklzulegende Strecke hin und zurück aber konstant.
Warum läßt sich diese Fahrzeit (einmal Fluß hoch und wieder
runter)nun nicht mit einer mittleren Geschwindigkeit von 3m/s
berechnen, wo man doch flußabwärts mit Strömung fährt und
flußaufwärts die gleiche Strecke zurücklegt, so könnte man
doch die Flußgeschwindigkeit völlig außer Acht lassen.
Das ginge tatsächlich: wenn man binnen 0 Sekunden die gegebene Strecke zurücklegen könnte. So aber…
Es seien je einmal 100 Meter hoch und runter zu schaffen.
Hoch fährt man dann in 100m / (3+1) m/s = 25s
Runter in 100m/ (3-1)m/s = 50s
Da die Flussgeschwindigkeit konstant ist, müsste man jetzt doch sehr schnell fahren um die Strecke in den obengenannten Null Sekunden zu fahren.
Ausserdem teilt sich der Zeitaufwand zum Hoch- und Runterfahren nicht paritätisch auf.
HTH
mfg M.L.
Man stelle sich vor: ein Boot fährt mit einer Geschwindigkeit
von 3km/s auf einem Fluß, der eine Eigengeschwindigkeit von
1m/s besitzt.
…
Bei der Fahrtgeschwindigkeit ist die Flussgeschwindigkeit eigentlich kaum noch zu bemerken. *g*
So, und jetzt geh’ ich in Deckung …
peherr
Hallo Julia,
der Fluss bremst ueber einen laengeren Zeitraum als er beschleunigt, weil die Fahrtzeiten unterschiedlich sind. Darum ist das Experiment nicht symmetrisch und die mittlere Geschwindigkeit relativ zum Ufer kleiner als in ruhendem Wasser.
Gruss,
klaus
Hallo!
So würde sich flußabwärts eine Geschwindigkeit von 4m/s
ergeben und flußaufwärts eine Geschwindigkeit von 2m/s.
Warum läßt sich diese Fahrzeit (einmal Fluß hoch und wieder
runter)nun nicht mit einer mittleren Geschwindigkeit von 3m/s
berechnen, wo man doch flußabwärts mit Strömung fährt und
flußaufwärts die gleiche Strecke zurücklegt, so könnte man
doch die Flußgeschwindigkeit völlig außer Acht lassen.
Mit „mittlere Geschwindigkeit“ ist stets das „zeitliche Mittel“ gemeint, nicht das „wegliche Mittel“ (um ein wunderbares neues Wort in die deutsche Sprache einzuführen). Und da das Boot flussaufwärts länger braucht als flussabwärts liegt die Geschwindigkeit auch näher an der Geschwindigkeit der ersten Etappe.
Michael
Hallo Julia,
Warum läßt sich diese Fahrzeit (einmal Fluß hoch und wieder
runter)nun nicht mit einer mittleren Geschwindigkeit von 3m/s
berechnen, wo man doch flußabwärts mit Strömung fährt und
flußaufwärts die gleiche Strecke zurücklegt, so könnte man
doch die Flußgeschwindigkeit völlig außer Acht lassen.
Man koennte dann mit 3m/s rechnen, wenn das Boot flussaufwaerts und -abwaerts jeweils gleich lang (zeitlich) fahren wuerde. Da es aber flussaufwaerts aber doppelt so lange braucht als flussabwaerts, muss Du die Flussaufwaertsgeschwindigkeit doppelt so stark gewichten, es gilt also
2 \* 2 + 1 \* 4 4 + 4 8 m
v\_m = ------------- = ----- = - -
2 + 1 3 3 s
HTH,
Puersti
Erklärung
Hallo,
Geschw. v = s / t mit s= Weg und t=Zeit.
Man erkennt, daß die Varialble Zeit unter dem Bruchstrich steht.
also v = f(1/t) -> keine lineare Funktion,
was für lin. Mittelwertberechnung nötig wäre!
Korrekte Mittelwertberechnung also:
v_mittel = (s1 + s2) / (t1 + t2) bei gleichem Weg: s1=s2
v_mittel = 2s / (t1 + t2)
Gruß Uwi
[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]
Man stelle sich vor: ein Boot fährt mit einer Geschwindigkeit
von 3m/s auf einem Fluß, der eine Eigengeschwindigkeit von
1m/s besitzt.
Das machen wir 400 m runter : 400 m / 4 m / s = 100 s
Und jetzt wollen wir wieder rauf mit 2 m pro Sekunde. Wir brauchen dazu 200 Sekunden. Insgesamt sind wir 800 Meter gefahren und haben 300 Sekunden gebraucht. Ergebnis : 800 m / 300 s = 2,6… m / s.
Oder wir fahren eine Minute lang runter. Zurückgelegte Strecke 60 s * 4 m / s = 240 m. Wir fahren eine Minute wieder rauf : 60 s * 2 m / s = 120 m. Fehlen also noch 120 m bis zum Ausgangspunkt …
Das Stichwort heißt „harmonisches Mittel“ (das, was man normalerweise unter dem Mittelwert versteht, ist das „arithmetische“).
Gruß Eillicht zu Vensre
Hallo Julia,
nun, ein Autofahrer, der
t1 lang mit der Geschwindigkeit v1,
t2 lang mit der Geschwindigkeit v2,
t3 lang mit der Geschwindigkeit v3,
t4 lang mit der Geschwindigkeit v4,
fährt, war am Schluß offensichtlich mit der mittleren Geschwindigkeit
v1 t1 + v2 t2 + v3 t3 + v4 t4
v<sub>mittel</sub> = -------------------------------
t1 + t2 + t3 + t4
unterwegs (die mittlere Geschwindigkeit ist stets der Quotient aus der gesamten Strecke S und der gesamten dazu benötigten Zeit T).
Sind alle Teil zeiten gleich lang…
t1 = t2 = t3 = t4 = T/4 (
)
vereinfacht sich der Ausdruck zu:
v1 T/4 + v2 T/4 + v3 T/4 + v4 T/4
v<sub>mittel</sub> = -----------------------------------
T/4 + T/4 + T/4 + T/4
T/4 (v1 + v2 + v3 + v4)
= -------------------------
T
1
= --- (v1 + v2 + v3 + v4)
4
Ergebnis: Die mittlere Geschwindigkeit ist bei dieser () Fahrweise das arithmetische Mittel der Teilgeschwindigkeiten.
So weit so gut. Aber was ist mit dem Autofahrer, der
s1 lang mit der Geschwindigkeit v1,
s2 lang mit der Geschwindigkeit v2,
s3 lang mit der Geschwindigkeit v3,
s4 lang mit der Geschwindigkeit v4,
fährt? Nun, der war am Schluß mit der mittleren Geschwindigkeit
s1 + s2 + s3 + s4
v<sub>mittel</sub> = ---------------------------
s1 s2 s3 s4
---- + ---- + ---- + ----
v1 v2 v3 v4
unterwegs!
Sind alle Teil strecken gleich lang…
s1 = s2 = s3 = s4 = S/4 ()
…vereinfacht sich der Ausdruck zu:
S/4 + S/4 + S/4 + S/4
v<sub>mittel</sub> = -------------------------------
S/4 S/4 S/4 S/4
----- + ----- + ----- + -----
v1 v2 v3 v4
S
= -----------------------------------
S ( 1 1 1 1 )
--- ( ---- + ---- + ---- + ---- )
4 ( v1 v2 v3 v4 )
4
= ---------------------------
1 1 1 1
---- + ---- + ---- + ----
v1 v2 v3 v4
Fazit: Bei dieser () Fahrweise ergibt sich die mittlere Geschwindigkeit als das harmonische Mittel der Teilgeschwindigkeiten!
Rechenbeispiel: Ein Autofahrer fährt eine Stunde lang mit 85, die nächste Stunde lang mit 50, dann eine Stunde lang mit 70 und die letzte Stunde mit 95. Dann hatte er die mittlere Geschwindigkeit
1/4 (85 + 50 + 70 + 95) = 75
Entscheidet er sich am nächsten Tag dafür, anders zu fahren, nämlich die ersten 100 km mit 85, die zweite 100-km-Etappe mit 50, die dritte mit 70 und das letzte 100-km-Stück mit 95, dann beträgt seine mittlere Geschwindigkeit
4 / (1/85 + 1/50 + 1/70 + 1/95) ≈ 70.7
Bei Deinem Kanufahrer liegt der zweite Fall vor. Er hat die mittlere Geschwindigkeit 2 / (1/(3 - 1) + 1/(3 + 1)) ≈ 2.666.
Gruß
Martin