Wenn jemand mit einem Gesamtgewicht von 170kg aus dem Flugzeug springt. Dann ergibt sich doch schon einmal für seine Geschwindigkeit
v’(t) = g, wobei g die Erdbeschleunigung sein soll, und v’(t) die Ableitung der Geschwindigkeit bzw. die Beschleunigung
Ich möchte alle Kräfte wie z. B. Luftwiderstand vernachlässigen. Wie komme ich dann auf eine Differentialgleichung für v’(t)? Ist es schlicht und ergreifend v’(t) = g?
Weil es sich ja hier um keinen Sprung im Vakuum handelt, muss ich ja noch das Körpergewicht beachten.
Wie ist also das Verhältnis von Beschleunigung zum Körpergewicht, das müsste ich doch noch mit einbringen?
Weil es sich ja hier um keinen Sprung im Vakuum handelt, muss
ich ja noch das Körpergewicht beachten.
Wie ist also das Verhältnis von Beschleunigung zum
Körpergewicht, das müsste ich doch noch mit einbringen?
Was unterscheidet denn den Sprung im Vakuum von einem realem Sprung?
Die Luft (bzw. Atmosphäre).
Was verursacht die Luft?
Luftwiderstand.
Wenn du den vernachlässigst, ist es wie im Vakuum und die Beschleunigung bleibt g.
Es kommt ja kein masse-abhängiger Term mit rein bzw, keine weitere Kraft.
Kräftegleichgewicht Vakuum:
m*g=m*a (m*g=Gewichtskraft, m*a=Trägheitskraft)
m kürzt sich raus -> Beschleunigung a=g (masse-unabhängig)
Kräftegleichgewicht Luft:
m*g=m*a+W
W ist der Luftwiderstand. W=rho/s*v²*S*cW
rho ist die Luftdichte
v ist die Geschwindigkeit
S ist die Fläche (beim Flugzeug nimmt man Flügelfläche, beim Auto die projizierte Fläche in Windrichtung)
cW ist der Widerstandsbeiwert
Dann ergibt sich die Beschleunigung zu:
a=(m*g-W)/m=g-W/m (masse-abhängig)
Wenn jemand mit einem Gesamtgewicht von 170kg aus dem Flugzeug
springt. Dann ergibt sich doch schon einmal für seine
Geschwindigkeit
v’(t) = g, wobei g die Erdbeschleunigung sein soll, und v’(t)
die Ableitung der Geschwindigkeit bzw. die Beschleunigung
…die zeitliche Ableitung der Geschwindigkeit.
Da in der Gleichung nirgendwo eine Masse vorkommt, gilt sie für alle fallenden Objekte, egal wie schwer sie sind, sofern Du …
…alle Kräfte wie z. B. Luftwiderstand vernachlässigen.
Wie komme ich dann auf eine Differentialgleichung für v’(t)?
Ist es schlicht und ergreifend v’(t) = g?
Ja! Du kannst sogar mühelos die Lösung dieser DG angeben. Wenn f’(x) = a ist (a = Konstante), dann muss f(x) als Stammfunktion von f’(x) die Form f(x) = a x + C haben (C = „Integrationskonstante“). Dies sind alle Funktionen, die a als Ableitung haben. Übertragen auf Deine DG: v(t) = g t + C. Für t = 0 nimmt v den Wert C an: v(t = 0) = v0 = C. Also gilt:
v(t) = g t + v0.
Dies ist die Lösung der DG v’(t) = g.
Weil es sich ja hier um keinen Sprung im Vakuum handelt, …
Nein, aber Du wolltest den Luftwiderstand vernachlässigt lassen.
Wie ist also das Verhältnis von Beschleunigung zum
Körpergewicht, das müsste ich doch noch mit einbringen?
Das kommt erst dann ins Spiel, wenn Du den Luftwiderstand berücksichtigen willst – siehe das andere Posting.
Ganz herzlichen Dank an TeaAge, dessen Antwort ich schlicht und ergreifend genial fand. Ebenfalls sehr hilfreich finde ich auch den Beitrag von Martin (danke).