Also angenommen man hat Zwei Massen (im Bereich von 10^24 oder so) als Planeten oder so. Die haben eine Entfernung von 1000.000 km oder so voneinander. Beide Massen üben ja jetzt eine Kraft aufeinander aus jetzt möchte ich ausrechnen wie sich ihre Geschwindigkeit ändert und ihre Position nach einer gewissen Zeit und wann die Massen aufeinander stoßen. Das Problem für mich hierbei ist, dass die Entfernung und dadurch auch die Kraft sich ändern und ich nicht genau weis wie man das berechnet.
die beiden sind vorher oin vollständiger Ruhe? dann einfach Impulssatz aufstellen, und von h=1000km bis zum Zusammenstoß integrieren. (Dazu bräcuhtest du natürlich die beiden Radien der Planeten).
Da die Planeten beide in etwa gleich schwer sind, musst du das allgemeine 2-Körperproblem Anwenden. (d.h. beide Massen sind beweglich). Das ist jedoch auch nicht schwerer, als das idealisierte 2-Körper problem. Du benutzt einfach die Summe beider Massen, um die Feldkonstante zwischen beidne Planeten herauszubekommen. jetzt darfst du dich auch wieder auf nur 1 Masse konzentrieren, und die andere als „ruhend“ annehmen.
Damit kriegt man den Ansatz: F_g=a*m1=G*(m1+m2)/r^2=dv/dt*m1=d^2v2/dt^2 *m1
mit r=R1+R2+h die ganze Geschichte integrierst du jetzt 2Fach (weil gesucht ist der Radius.) über h=1000km bis h=0km und damit kriegst du die gesuchte Formel. dabei treten auch 2 konstanten auf. die Bedingung für die 2. Konstante ist v0=0;
Falls dir die Angaben nicht reichen (ich weiss nicht wie gut deine mathe/physik-kenntnisse sind), kann ich sdir auch gerene einmal vorrechnen, hab aber jetzt gerade keine Zeit 
.
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Hallo,
rechne einfach (?) Schritt für Schritt, z.B. nach Zeitintervall. Je nach gewünschter Genauigkeit kannst du z.B. 1 Sekunde wählen oder einen Tag, wenn du das Intervall verkürzt und das Ergebnis wird nicht mehr besser, dann reicht die Auflösung.
Also du rechnest mit den Ausgangsdaten, wohin sich die Massen in 10 Sekunden bewegen und welche Geschwindigkeit sie dann haben. Mit diesen Werten für T0 + 10 Sek rechnest du dann wieder, um die Werte für T0 + 20 Sek zu erhalten und so immer weiter.
Naturgemäss weichen die Werte mit der Zeit immer mehr von der Realität ab, man kann aber auch berechnen, ab wann sie nicht mehr zuverlässig genug sind.
Gruss Reinhard
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hallo, nochmal
ich vergaß zu erwähnen: falls die körper sich nicht exakt aufeinander zubewegen, hast du ein allgemeines 2-Körperproblem. Das kannst du dann mit der Energieerhaltung/Keplerzeitgleichung lösen. ist allerdings was komplizierter. Meinetwegen rechne ich dir das auch vor, wenn du willst…
Grüße, Tom
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Hallo!
Meistens werden sie sich gar nicht treffen! Sie haben nämlich wahrscheinlich eine Anfangsgeschwindigkeit und werden sich dann auf Rosettenbahnen um ihren gemeinsamen Schwerbunkt bewegen. Wenn die Masse des einen Körpers sehr viel größer ist als die des anderen, dann liegt der Schwerpunkt beider Körper im Inneren des großen Körpers. Der kleine Körper führt in diesem Fall Ellipsenbahnen (Keplerellipsen) um den großen Körper aus.
Wenn aber beide Körper zunächst in Ruhe sind, geht das so:
Es wirkt die Kraft F = γ m12 /r². Diese Kraft erfahren beide Körper gleichermaßen. Sie werden daher beschleunigt:
a1 = d²s1/dt² = F / m1
= γ m2[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]
Meistens werden sie sich gar nicht treffen! Sie haben nämlich
wahrscheinlich eine Anfangsgeschwindigkeit und werden sich
dann auf Rosettenbahnen
nope … Es sind Ellipsenbahnen. Auch in diesem Fall. Rosetten entstehen nur durch Störungen des Gravitationspotentials (Abweichungen von der 1/r^2-Proportionalität.)
Wenn aber beide Körper zunächst in Ruhe sind, geht das so:
Es wirkt die Kraft F = γ m12 /r². Diese Kraft erfahren beide Körper
gleichermaßen. Sie werden daher beschleunigt:a1 = d²s1/dt² = F / m1
= γ m2
Hallo!
nope
Stimmt natürlich. Asche auf mein Haupt!
- a(ges) = - d²r/dt² = γ M / r²
das intergrieren, geht übrigens tatsächlich so einfach, wi es
aussieht
Sicher?
Dann komme ich auf
r(t) = - γ M t²/2r² + Ct + D
(C und D sind Integrationskonstanten)
Und wie soll das jetzt weitergehen? Ich wünsche viel Spaß beim Auflösen!
Michael
Allerdins nur unter der Annahme, daß die die
Körper genau aufeinander zufliegen… (sprich: 1D-problem)
Grüße, Tom
Hallo Michael,
leider ist es nicht ganz soooo einfach (auch wenn Tom meint , es sei ganz einfach).
…
Dann komme ich auf
r(t) = - γ M t²/2r² + Ct + D
(C und D sind Integrationskonstanten)
Und wie soll das jetzt weitergehen? Ich wünsche viel Spaß beim
Auflösen! …
Das Auflösen wäre nicht so dramatisch (auch kubische Gleichungen lassen sich lösen), aber beim Integrieren hast du dich vertan.
Du hast bei γ M /r² die Größe r wie eine Konstante betrachtet. Aber: r ist die unbekannte, zu bestimmende Funktion der Zeit, also r = r(t) und dann ist es aus und vorbei mit der einfachen Integrierei, eine DGl muss gelöst werden …
Gruß Kurt
Michael
Allerdins nur unter der Annahme, daß die die
Körper genau aufeinander zufliegen… (sprich: 1D-problem)
Grüße, Tom
Hallo Tom!
…
herauszubekommen. jetzt darfst du dich auch wieder auf nur 1
Masse konzentrieren, und die andere als „ruhend“ annehmen.
Weil beim Zweikörperproblem http://de.wikipedia.org/wiki/Zweik%C3%B6rperproblem )normalerweise die reduzierte Masse (http://de.wikipedia.org/wiki/Reduzierte_Masse ) und Relativkoordinaten zu verwenden sind, sollte es oben besser heißen „auf 1 Körper konzentrieren“ …)
…
Damit kriegt man den Ansatz:
F_g=a*m1=G*(m1+m2)/r^2=dv/dt*m1=d^2v2/dt^2 *m1
Tippfehler: Die zweite Ableitung ist natürlich d2r2/dt2 (r wird abgeleitet, nicht v!).
…
… integrierst du jetzt 2Fach
(weil gesucht ist der Radius.) über h=1000km bis h=0km und
…
Falls dir die Angaben nicht reichen (ich weiss nicht wie gut
deine mathe/physik-kenntnisse sind), kann ich sdir auch gerene
einmal vorrechnen, hab aber jetzt gerade keine Zeit
Also meine Mathe/Physikkenntnisse sind eigentlich nicht so schlecht, aber ich kann das nicht nachvollziehen.
Du hast die zweite Ableitung nach der Zeit gegeben als Funktion vom Ort und du integrierst über den Ort - was soll das geben ? Eigentlich müsstest du über die Zeit integrieren, aber das kannst du eben nicht, weil die zu integrierende Funktion (~1/r(t)^2 ) eben nicht gegeben ist, sondern als Lsg. der DGL erst noch bestimmt werden musss.
Die Lösung sind die Kepler-Bahnen, beim zentralen Aufeinanderstürzen eine zur Geraden entartete Ellipse. Aber um das nachzurechnen braucht’s etwas mehr als ein billiges Integral …
Du darfts uns das aber gerne hier ausführlich vorrechnen
Gruß Kurt
sag’ ich ja! (owt)
.
Hallo!
… dann solltest du aber nicht die Leute mit so falschen Sachen wie
Integral (γ M/r²) dt = 1/2 (γ M/r²) t² + Ct + D
verwirren. Es wäre vielen schon geholfen, wenn sie erkennen würden, wann sie s = 1/2 a t² NICHT anwenden dürfen!
Gruß Kurt
Hallo!
… dann solltest du aber nicht die Leute mit so falschen
Sachen wie
Integral (γ M/r²) dt = 1/2 (γ M/r²) t² + Ct + D
verwirren. Es wäre vielen schon geholfen, wenn sie erkennen
würden, wann sie s = 1/2 a t² NICHT anwenden dürfen!
Ich versuchte, Toms Argumentation ad absurdum zu führen, indem ich - wie von ihm vorgeschlagen - die Integration durchführte. Die Auflösung der kubischen Gleichung habe ich mir geschenkt. Allerdings sieht man schon, dass r³ mit t² geht. Ohne jetzt zusehr in Details abzudriften, würde das ja bedeuten, dass r von t^2/3 abhängt, also langsamer mit der Zeit wächst, als bei der gleichförmig beschleunigten Bewegung. Da die beschleunigende Kraft längs der Bewegungsrichtung allerdings zunimmt, muss das Ergebnis falsch sein.
Okay, ich hätte mich deutlicher ausdrücken können. Immerhin hatte ich zwei postings vorher schon geschrieben: „Das ist eine Differentialgleichung, die man lösen müsste. Da lassen mich meine mathematischen Fähigkeiten gerade etwas im Stich. Ich glaube nicht, dass es so einfach ist, wie von Tom vermutet, da r implizit von der Zeit abhängt.“
Gruß, Michael
TOM, wir warten auf deine Rechnung !!! (o.w.T.)
owT!
owT!
sorry … keine ANgst kriegt ihr noch… es gibt auch arbeitende Bevölkerung in Deutschland …
Grüße, Tom… (der um ein bischen Geduld bittet, da er momentan wirklich keine Zeit hat…)