Hallo, bin mittlerwile einige -zig Jährchen aus der Schule und habe folgende Frage: wie ist es zu begründen, daß folgendes Dreieck konstruierbar ist : c=5 cm, b=2,5 cm, Beta=20 Grad
Danke für eure Hilfe, Uwe
Nabend.
Also: Dreieck wie gehabt. Eckpunkte A B und C (gegen den Uhrzeigersinn), Seiten a, b und c den Eckpunkten gegenüberliegend und alfa, beta und gamma jeweils bei A, B und C.
Man nehme als Strecke c eine Linie der angegebenen Länge 5. An deren Enden liegt zwangsläufig A und B. Nun trägt man den Winkel 20 Grad am Punkt B an.
Jetzt schlägt man einen Kreis mit dem Radius von 2,5cm um A.
Das ist nämlich der geometrische Ort, an dem alle Punkte gleichweit von A weg sind.
Die kreuzen sich zweimal mit der Linie aus dem angetragenem Winkel 20 Grad und ergeben so zwei Schnittpunkte.
Also: Zwei mögliche Dreieckslösungen.
Gruß
J
Hallo, bin mittlerwile einige -zig Jährchen aus der Schule und
habe folgende Frage: wie ist es zu begründen, daß folgendes
Dreieck konstruierbar ist : c=5 cm, b=2,5 cm, Beta=20 Grad
Danke für eure Hilfe, Uwe
Hallo, bin mittlerwile einige -zig Jährchen aus der Schule und
habe folgende Frage: wie ist es zu begründen, daß folgendes
Dreieck konstruierbar ist : c=5 cm, b=2,5 cm, Beta=20 Grad
Danke für eure Hilfe, Uwe
Hi Uwe,
es gibt einen Elementarsatz der Geometrie, der besagt, daß ein Dreieck konstruierbar ist wenn
ein Winkel und zwei Seiten
zwei Winkel und eine Seite
bekannt sind
Gandalf
Hallo,
ich kenn die Dinger noch mit deren Abkürzungen:
ein Winkel und zwei Seiten
WWS
zwei Winkel und eine Seite
WWS
Aber da gibts doch noch SSS , wenn also alle drei Seitenlängen bekannt sind. Zumindest in diesem Universum und in zwei Dimensionen sind Dreiecke doch damit auch eineindeutig bestimmt. Oder irre ich mich da?
Gruß
Christian
Hi.
I.A. kann man sagen, dass ein Dreieck, von dem drei voneinander unabhängige Daten (drei Winkel reichen also nicht, da der dritte Winkel von den andern beiden abhängt) gegeben sind, stets eindeutig definiert (also auch konstruierbar) ist, wenn die Seiten die sog. Dreiecksungleichung erfüllen d.h. die Summe zweier Seiten größer oder gleich der dritten Seite sein muss.
Sirach
Danke erst mal für eure Meinungen, aber sie sind zum großteil falsch:
- Jürgen hat es richtig erkannt und erklärt, nur noch nicht
ausreichend mit den Gesätzmäßigkeiten begründet. - Sirach bezieht sich auf den Satz der 3 gleichen Seitenlängen
die nicht da sind.
Die Dreiecksungsleichung a+b>=c ist auch nicht anwendbar,
da nur 2 Seiten gegeben sind ! - Gandalf und Christian versuchen ansatzweise die Kongruenzsätze
zu bemühen, die aber falsch wiedergegeben werden.
Sie lauten:
- 2 Dreiecke sind kongruent, wenn alle 3 Seiten gleich lang
sind (SSS). - Sie sind kongruent, wenn sie in einer Seite und den 2
anliegenden Winkeln übereinstimmen (WSW). - Sie sind kongruent, wenn sie in 2 Seiten und dem
eingeschlossenen Winkel übereinstimmen (SWS). - Sie sind kongruent, wenn sie in 2 Seiten und dem der längsten
Seite gegenüberliegendem Winkel übereinstimmen (SSW).
Keine dieser Sätze sind wirklich anwendbar, oder ?
Seht es nicht als Kritik, habe die Sätze mir auch schwer rausgesucht.
Ich warte auf weitere Erklärungen !!!
Danke, Uwe
Hallo Uwe,
Erst wollte ich auch schreiben, daß WSS in jedem Fall funktioniert, dann aber…
In Deinem Fall trägst Du Strecke c=5 auf. Dann einen Strahl mit dem Winkel beta=20° an einem der Enden. Anschließend kannst Du vom anderen Ende von c mit einem Zirkel die Strecke b=2,5 abtragen. Und dann wird man feststellen, daß tatsächlich 2 Möglichkeiten existieren, das Dreieck zu konstruieren, eine wobei c die längste Seite des Dreiecks ist und eine, wo die konstruierte Seite a die längste Seite des Dreiecks ist.
Wäre Seite b kürzer (
Hallo Uwe,
vorausgesetzt, ich habe mich nicht auf die Schnelle verrechnet, dann ist das Dreieck konstruierbar. Erst wenn der von dir angegebene Winkel bei unveränderten Seiten größer als ca. 26,6° ist, dann kann das Dreieck nicht mehr konstruiert werden.
Hallo, bin mittlerwile einige -zig Jährchen aus der Schule und
habe folgende Frage: wie ist es zu begründen, daß folgendes
Dreieck konstruierbar ist : c=5 cm, b=2,5 cm, Beta=20 Grad
Danke für eure Hilfe, Uwe
Allerdings: ich verstehe deine Fragestellung nicht ganz, kannst du sie näher erläutern, worauf kommt es dir an?
Gruß
Jörg Zabel
Hi!
eine allgemeine formulierung, wann ein Dreieck konstruierbar ist, wird in der Schule auch nicht gelehrt.
Deswegen ist die Beantwortung auch ein wenig spezieller, und hat auch nicht viel mit Kongruenzsätzen oder anderen Gesetzmäßigkeiten von Dreiecken zu tun. Für eine möglichst allgemeine Beantwortung (mittels umgangssprachlicher Ausdrucksweise) deiner Frage läßt sich nur festhalten, daß ein Dreieck (als Teil der Ebene) konstruierbar ist, wenn die gemachten Angaben zur Bildung von drei Strecken herangezogen werden können, für die gilt, daß die Endpunkte von je zwei von ihnen zusammenfallen. Dementsprechend sinnvolle Angaben können Winkel- (W) und Längenangaben (L) sein, die ein Tupel ergeben, das folgende Eigenschaften besitzen muß, damit das Dreieck konstruierbar ist:
- Es dürfen höchstens drei W’s oder drei L’s vorkommen. (Das Tupel besteht also aus 3 bis 6 Angaben.)
- Die Summe der W’s darf 180 (bzw. pi) nicht überschreiten. (Gleichheit gilt bei drei W’s, sonst kleiner)
Theoretisch lassen sich noch weitere Bedingungen angeben (z.B., daß der Kosinussatz erfüllt sein muß, sofern die angaben dazu ausreichen), aber die lassen sich i.a. nicht mal eben so nachrechnen und man ist mit Zirkel und Lineal schneller.
Tyll
Danke Euch allen.
Tyll hat es am besten erklärt.
Da es 2 Möglichkeiten gibt, scheinen die Kongruenzsätze auszuscheiden.
Wie sie zu kunstruieren sind, war mir eigentlich klar.
Es ging eben um die Gesetzmäßigkeiten.
Hallo,
ich möchte hier versuchen, auf einige Unklarheiten hinzuweisen:
- Es dürfen höchstens drei W’s oder drei L’s vorkommen. (Das
Tupel besteht also aus 3 bis 6 Angaben.)
Ein Dreieck aus drei Winkeln ist nicht konstruierbar. Es muß mindestes eine Strecke gegeben sein.
- Die Summe der W’s darf 180 (bzw. pi) nicht überschreiten.
(Gleichheit gilt bei drei W’s, sonst kleiner)
Theoretisch lassen sich noch weitere Bedingungen angeben
(z.B., daß der Kosinussatz erfüllt sein muß, sofern die
angaben dazu ausreichen), aber die lassen sich i.a. nicht mal
eben so nachrechnen und man ist mit Zirkel und Lineal
schneller.
Die Summe der Länge beiden kleineren Seiten muß größer sein als die Länge der größeren Seite.
Es gibt mehrere Kombinationen von Seiten und Winkeln, die nicht immer zu eindeutigen Ergebnisen führen:
WWW: Ein Dreieck mit nur drei Winkeln ist nicht konstruierbar.
SSS: Ein Dreieck aus drei Seiten ist konstruierbar, wobei die Sache mit der Summe stimmen muß.
WSW oder SWW: Ein Dreieck aus einer Seite und zwei Winkeln ist konstruierbar, die Sache mit der Winkelsumme muß stimmen.
SWS (zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel): ist konstruierbar.
SSW (zwei Seiten und ein anliegender Winkel): Diese Kombination kann mehrdeutig sein. Je nach Angabe kann es nur eine Lösung, zwei Lösungen oder gar keine Lösung geben.
Viele Grüße
Jörg Zabel
Hi Jörg!
Danke für deine Ergänzungen, dann will ich aber auch noch ein Sache anmerken:
Ein Dreieck aus drei Winkeln ist nicht konstruierbar. Es muß
mindestes eine Strecke gegeben sein.
Ich finde den Begriff der Strecke in diesem ZUsammenhang unglücklich gewählt. Ich stimme mit dir darin überein, daß man einen Bezug braucht. dieser muß aber nicht zwangsläufig eine Strecke sein, denn dann erscheint es so, als müßte das Dreieck eine bestimmt Seitenlänge haben. Das ist aber nicht der Fall; eine Gerade tuts auch. stimmt aber, daß man sie braucht, um erstmal einen winkel anlegen zu können.
Gruß
TYll
Hallo Tyll,
Ich finde den Begriff der Strecke in diesem ZUsammenhang
unglücklich gewählt. Ich stimme mit dir darin überein, daß man
einen Bezug braucht. dieser muß aber nicht zwangsläufig eine
Strecke sein, denn dann erscheint es so, als müßte das Dreieck
eine bestimmt Seitenlänge haben. Das ist aber nicht der Fall;
eine Gerade tuts auch. stimmt aber, daß man sie braucht, um
erstmal einen winkel anlegen zu können.
Ich muß doch noch einen Versuch machen dir zu widersprechen.
Ich denke, durch die Angabe von drei Winkeln ist das Dreieck nicht definiert. Aus den drei Winkeln kann ich lediglich eine unendliche Anzahl ähnlicher Dreiecke herleiten, in irgendeiner Form brauche ich für ein eindeutig definiertes Dreieck eine Längenangabe. Das Antragen von zwei Winkeln an eine Gerade halte ich nicht für eindeutig.
Viele Grüße
Jörg Zabel
P.S.: Was hältst du von dem von mir mit SSW benannten Fall der Mehrdeutigkeit der Dreiecksbestimmung? Bei welchen Bedingungen ist welcher Fall gegeben?
Hi Jörg!
Hallo Tyll,
Ich muß doch noch einen Versuch machen dir zu widersprechen.
Ich denke, durch die Angabe von drei Winkeln ist das Dreieck
nicht definiert. Aus den drei Winkeln kann ich lediglich eine
unendliche Anzahl ähnlicher Dreiecke herleiten, in irgendeiner
Form brauche ich für ein eindeutig definiertes Dreieck eine
Längenangabe. Das Antragen von zwei Winkeln an eine Gerade
halte ich nicht für eindeutig.
Ja, das hat was. Aber mir geht es nicht um eine eindeutige Konstruierbarkeit, sondern ganz allgemein um die Konstruierbarkeit überhaupt. Und mit drei Winkeln läßt sich ein (also im mathematischen Sinne „ein“, somit: „mindestens ein“) Dreieck konstruieren. die Mehrdeutigkeit der Lösungen stört mich also nicht, da ich nicht fand, daß sie bestandteil der „Aufgabe“ war.
Zu deinem P.S. (also SSW):
Es gibt dann wohl zwei Möglichkeiten:
- W zwischen den Seiten
- W an einer Seite. Damit hätte man eine „freie“ Seite und eine „freie“ Seite samt Winkel.
Frei soll bedeuten, daß die Orientierung und Lage der Seite noch geändert werden kann.
Alle anderen Fälle sind zu diesen beiden äquivalent.
zu 1. Klappt immer, denn es ist für die letzte Seite kein Winkel oder deren Länge vorgegeben und es müssen im Grunde nur zwei Punkte miteinander verbunden werden. Dadurch ergibt sich dann genau ein Dreieck.
zu 2.
a) verbinde ich beide Seiten (sagen wir mal AA’ und BB’) über den gegebenen Winkel T, so lande ich bei Fall 1.
b) verbinde ich AA’ und BB’ über einen beliebigen Winkel t (o.B.d.A. derart, daß A’=B gilt), so muß ich diesen zur Konstruktion so lange variieren, bis die Strecke B’A unter dem Winkel T existiert.
Das wird problematisch, wenn BB’ länger ist als AA’ und T > 90° (grobe Abschätzung).
Ansonsten ergibt sich wieder genau ein Dreieck.
Interessanter ist aber die Frage, wann ein Dreieck konstruierbar ist, wenn z.B. WWSS vorgegeben werden.
Gruß
Tyll
Hallo Tyll,
ich möchte versuchen deine Fragen zu beantworten:
sofern wir nicht aneinander vorbeireden (ein kleines bischen habe ich dieses Gefühl), dann ist bei dem Fall WWSS eine Überbestimmung gegeben. Es sind nach meinem Verständnis zwei Winkel und zwei Seiten gegeben. Wie soll man mit der Überbestimmung umgehen???
Der von mir mit SSW bezeichnete Fall bezog sich auf das Dreieck mit der „freien Seite“. SSW sollte bedeuten, dass am einen Ende einer gegebenen Seite (a) eine „freie“ Seite (b), am anderen Ende ein anliegender Winkel (alpha) ist. (Ohne Skizze, nur mit Text tue ich mich jetzt ziemlich schwer). Somit ist die Folge Seite-Seite-Winkel. Der Fall des eingeschlossenen Winkels würde bei mir SWS lauten.
Zur Konstruktion des Dreiecks muß die freie Seite mit dem freien Schenkel des Winkels mittels Bogenschlag zum Schnitt gebracht werden.
Hier gibt es nun mehrere Möglichkeiten:
Es existiert keine Lösung, wenn b a.
Gruß
Jörg
Hi Jörg!
sofern wir nicht aneinander vorbeireden (ein kleines bischen
habe ich dieses Gefühl), dann ist bei dem Fall WWSS eine
Überbestimmung gegeben. Es sind nach meinem Verständnis zwei
Winkel und zwei Seiten gegeben. Wie soll man mit der
Überbestimmung umgehen???
Eben das ist ja die Frage. Ohen es nachgerechnet zu haben halte ich es aber für unwahrscheinlich, daß dadurch in keinem Fall ein Dreieck definiert werden könnte. Allerdings gebe ich zu, daß die Einschränkungen groß sein können.
Mit WWSS meine ich auch alle Permutaionen davon (also auch SWSW u.s.w.).
Der von mir mit SSW bezeichnete Fall bezog sich auf das
Dreieck mit der „freien Seite“. SSW sollte bedeuten, dass am
einen Ende einer gegebenen Seite (a) eine „freie“ Seite (b),
am anderen Ende ein anliegender Winkel (alpha) ist. (Ohne
Skizze, nur mit Text tue ich mich jetzt ziemlich schwer).
-) kenn ch irgendwoher…
jetzt habs ich aber geschnallt. Einen Fall, den ich übersehen hatte *schlagvordenkopf*
[…]
jo, das ist doch gut.
Gruß
Tyll