Gesetzmäßigkeiten Diff. von Pot. gleicher Exp.?

Wissenschaft Mathematik
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Hallo,

Schreib man Quadratzahlen auf und darunter jeweils die Differenz usw. erhält man in der dritten Zeile den Wert 2.

Hier mal demonstriert:
1 4 9 16
3 5 7
2 2

Kann man nun eine allgemeine Formel aufstellen, mit der es möglich ist vorrauszusagen, wann der konstante Wert auftritt und wie groß dieser ist, bei der n-ten Exponent???
bzw. kann man Beweisen, dass eine bestimmte Differenz bei bsp. Kubikzahlen IMMER auftreten muss?

Ich steh da echt auf dem Schlauch!! :smile:

Hoffe es kann jemand helfen und schonmal Danke im vorraus!

Mit freundlichen Grüßen

2

Für x^2 hast Du es ja schon aufgestellt.
Wiederhole das ganze für x^3, x^4 und x^5.

Danach stellst Du hoffentlich eine Gesetzmäßigkeit fest.
Fasse diese Gesetzmäßigkeit in eine Formel.

Beweise zB mit vollständiger Induktion, dass Deine Regel für alle n>=1(ggf. 2) für x^n gilt.

3

Hallo,

Hallo

Schreib man Quadratzahlen auf und darunter jeweils die
Differenz usw. erhält man in der dritten Zeile den Wert 2.

Hier mal demonstriert:
1 4 9 16
3 5 7
2 2

Denk dir die Zahlen einer Zeile als Folgenglieder. In der ersten Zeile steht
12, 22, …, n2, (n+1)2, …
In der zweiten Zeile steht die Differenz zweier aufeinander folgener Folgenglieder aus der ersten Zeile.
(n+1)2-n2=2n+1
In der dritten Zeile steht die Differenz zweier aufeinander folgender Folgenglieder aus der zweiten Zeile.
2(n+1)+1-(2n+1)=2

Für einem größeren Exponenten e taucht die Konstante e-ten Zeile auf und ist e! (sprich e Fakultät), das ist e⋅(e-1)⋅…⋅2

Ein ausführlicher Beweis ist mir jetzt zu aufwändig.

Gruß

hendrik

4

Hallo!

Ich wünschte, ich könnte Latex …

Nehmen wir die Folge x^n.

Die Differenz zwischen zwei Gliedern der Folge ist

D1(x) = (1+x)^n - x^n

Auf den ersten Term wende ich die Binomische Formel an:

(Σ(n über k)x^k) - x^n

Die Summe geht von k=0 bis n. Das letzte Glied der Summe heißt

(n über n)x^n = x^n

Wir können also das letzte Glied streichen und erhalten

D1(x) = (Σ(n über k)x^k)

Diesmal geht die Summe von k=0 bis n-1. Nun ziehen wir den konstanten Faktor n aus der Klammer heraus und erhalten

D1(x) = n * ((Σ(n-1 über k)x^k)

Lustigerweise steht nun in der Klammer nichts anderes als (1+x)^(n-1).

In dieser Formel substituiere ich mal (1+x) mit y, dann steht da y^(n-1). Also gilt

D1(y) = n * y^(n-1)

Nun machen wir den ganzen Kram nochmals:

D2(y) = n * [(1+y)^(n-1) - y^(n-1)]

… (mühsames Rechnen und Substituieren) …

D2(z) = n * (n-1) * z^(n-2)

Das kann man genau so lange machen, bis im letzten Exponenten eine 0 steht:

Dn(ω) = n * (n-1) * … * 1 * ω^(0)

ω^0 ist natürlich 1 und es ergibt sich daher für die n-te Differenzbildung der konstante Wert n!.

Michael

5

Erstmal Danke für die schnelle Antwort.

Der konstante Wert müsste aber in der (e+1)nten Zeile auftreten, oder? Hab das mal mit Kubikzahlen durchgerechnet, dort tritt der Wert 6 in der 4.ten Zeile auf. Woher weißt du, dass der Wert n Fakultät sein muss? :wink:

MFG

6

Vielen Dank!!!

Hast mir sehr geholfen. :smile:

7

Der konstante Wert müsste aber in der (e+1)nten Zeile
auftreten, oder?

Du hast Recht, der konstante Wert taucht in der (e+1)-ten Zeile auf. Dass er e! ist wurde ja bereits gezeigt.

Gruß

hendrik