Gewehrprojektil

[Fabian_74b46e]

Hallo alle zusammen,
ich hätte mal ne Frage:
Mit was für einer Geschwindigkeit schlägt eine
Gewehr"kugel" auf,wenn ein Gegenstand in 40m Entfernung
steht und der Luftwiderstand nicht vernachlässigt wird.
Danke im vorraus
Fabian

[Winfried_ad53fe]

Hallo Fabian,

das hängt in erster Linie von der Mündungsgeschwindigkeit ab. Die liegt bei einem Gewehr normalerweise zwischen ca. 500 und 1200 m/s (grober Richtwert). Die Außenballistik (also nach Verlassen des Laufes) wird dann vom ballistischen Koeffizienten und der Querschnittsbelastung des Geschoßes beeinflußt (ich hoffe, das mit der Querschnittsbelastung stimmt auch wirklich), außerdem von der Dichte der Luft (Luftdruck, -temperatur, -feuchtigkeit). Bei einer für ein Großkalibergewehr typischen Mündungsgeschwindigkeit von 800 m/s dürfte die V40 bei ca.785 m/s liegen (Schätzung). Entsprechende PC-Programme zur Ermittlung der Außenballistik gibt es genug.

lg

Winfried

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[Anonym_dccfd98ba8f6]

Hallo Fabian,

ich hätte mal ne Frage:
Mit was für einer Geschwindigkeit schlägt eine
Gewehr"kugel" auf,wenn ein Gegenstand in 40m Entfernung
steht und der Luftwiderstand nicht vernachlässigt wird.

Das hängt ziemlich stark davon ab, mit welcher Geschwindigkeit sie den Lauf verläßt

Gruß Kubi

[Fabian_74b46e]

Gibt es eine allgemeine Formel zur Berrechnung,
denn ich kann mich erinnern,dass ich die
Formel irgendwo schonmal gelesen hab’.
Hab die Seite aber verloren…

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[Flytrap]

Hallo Winfried!

Großkalibergewehr typischen Mündungsgeschwindigkeit von 800
m/s dürfte die V40 bei ca.785 m/s liegen (Schätzung).

Ich habe die gleiche Problematik mit Hilfe von Excel fürs Bogenschießen berechnet.
Ich habe jetzt mal einen fiktiven „Pfeil“ mit 0,6cm Durchmesser; 3cm Länge und einem cw-Wert von 0,3 mit 800 m/s auf die Reise geschickt. V40 ist nach meiner Rechnung 789m/s. Das würde deine Schätzung also recht gut bestätigen.
Falltiefe auf 100m ist bei diesem Geschoss nach meiner Rechnung übrigens etwa 7cm. Würde sich das auch mit deinen Schätz- oder Erfahrungswerten decken?

Gruß

Stefan

[Winfried_ad53fe]

Hallo Winfried!

Großkalibergewehr typischen Mündungsgeschwindigkeit von 800
m/s dürfte die V40 bei ca.785 m/s liegen (Schätzung).

Ich habe die gleiche Problematik mit Hilfe von Excel fürs
Bogenschießen berechnet.
Ich habe jetzt mal einen fiktiven „Pfeil“ mit 0,6cm
Durchmesser; 3cm Länge und einem cw-Wert von 0,3 mit 800 m/s
auf die Reise geschickt. V40 ist nach meiner Rechnung 789m/s.
Das würde deine Schätzung also recht gut bestätigen.
Falltiefe auf 100m ist bei diesem Geschoss nach meiner
Rechnung übrigens etwa 7cm. Würde sich das auch mit deinen
Schätz- oder Erfahrungswerten decken?

Gruß

Stefan

Hallo Stefan,

7 cm auf den ersten 100 m sind auf jeden Fall realistisch. Danach fällt das Geschoß natürlich schneller ab. Das Gewicht für unser fiktives Geschoß müßte übrigens bei 10 oder 10,5 Gramm liegen. So richtig intensiv beschäftigt habe ich mich damit eigentlich noch nie. Das sind so Dinge, die sich ergeben, wenn man ab und zu zum Schießen geht. Aber Tabellen,Berechnungen und Software gibt es zu diesem Thema ohne Ende.

Grüße

Winfried

[Flytrap]

Hallo nochmal!

7 cm auf den ersten 100 m sind auf jeden Fall realistisch.
Danach fällt das Geschoß natürlich schneller ab.

Da bin ich ja angenehm überrascht. Ich dachte, das müsste mehr sein. Aber als Bogenschütze denkt man da natürlich in Maßstäben von einigen Metern, nicht in Centimetern.

Das Gewicht
für unser fiktives Geschoß müßte übrigens bei 10 oder 10,5
Gramm liegen.

Upps, ich hab mir um das Volumen und die Masse gar keine näheren Gedanken gemacht. Muss ich wohl ein Iridiumgeschoss verwendet haben, ich hatte nämlich mit 20 Gramm gerechnet.
Aber dadurch dass ich den cW-Wert auch recht großzügig geschätzt habe, hat sich das wohl gegenseitig kompensiert.

Gruß

Stefan

[Flytrap]

Hallo Fabian,

Wenn dir cW-Wert und Beschleunigung keine Fremdwörter sind kannst du das in einem inkrementellen Verfahren selbst ausrechnen.
Berechne einfach die auf das Geschoss wirkenden Kräfte und die nach einem sehr kurzen Zeitabschnitt (z.B. 0,001s) daraus resultierenden Geschwindigkeits und Positionsänderungen. Das ganze wiederholst du solange, bis du bei einer Gesamtstrecke von 40m angekommen bist.

Wobei der Mathematisch begabte Mensch dann wahrscheinlich auch in der Lage ist, das ganze per Differenzial- und Integralrechnung in eine einzige Formel zu packen. Aber an dieser Stelle fehlten mir dann einfach Erfahrung und Ehrgeiz…

Gruß

Stefan

[Fabian_74b46e]

Ja,sowas ähnliches hab ich schonmal gemacht
könnte das richtig sein:
k=Konstante
A=Fläche
rho=Dichte der Luft
Cw=Cw-Wert
a=Beschleunigung
k=1/2*Cw*A*rho
a=v-k/m*v²
Und das dann Schrittweise weiterführen?
Fabian

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[Flytrap]

Hallo Fabian

Ja,sowas ähnliches hab ich schonmal gemacht
könnte das richtig sein: […]

Ich bin mir jetzt nicht ganz sicher. Ich kann mit der Konstante k nichts anfangen und es fehlt auf jeden Fall noch die Geschossmasse.

Die Formeln die ich verwendet habe sind (frei nach Gedächtnis):

Beschleunigung=Geschwindigkeit/Zeit (nach der Geschwindikgeit umgestellt)

Kraft=Masse*Beschleunigung (Nach der Beschleunigung umgestellt)
und

Kraft= 1/2*Cw*Stirnfläche*Luftdichte*Geschwindigkeit^2

Und das dann Schrittweise weiterführen?

Genau das habe ich dann getan…

Gruß

Stefan

PS: Ich könnte dir auch mal meine Excel-Tabelle per Mail senden. Allerdings befürchte ich, dass du das mit oben stehenden Formeln selber schneller hinkriegst, als dass du dich in meinem Formeldickicht zurechtfindest. (Ich hatte nämlich noch eine komplette Berechnung der Flugbahn inklusive Seitenwindeinfluss mit dran gestrickt)

[Fabian_74b46e]

Beschleunigung=Geschwindigkeit/Zeit (nach der Geschwindikgeit
umgestellt)

Kraft=Masse*Beschleunigung (Nach der Beschleunigung
umgestellt)
und

Kraft= 1/2*Cw*Stirnfläche*Luftdichte*Geschwindigkeit^2

Und das dann Schrittweise weiterführen?

Müsste heißen:
a=1/2*cw*A*rho*v²/m/t

Also nach einer sek:
Bei
cw=0,2
A=wieviel m² sind das wohl,sagen wir mal 0,002m²(0,2cm²)
rho=1,2929
v=800m/s
m=0,003kg(3g)
t=1 sek.
a=1/2 *0,2*0,002*1,2929*800²/0,003/1
a=55163,733
Das ist auf jeden Fall falsch,nur wie
geht es richtig???

[Martin]

Hallo Fabian,

folgendermaßen geht es richtig.

Zunächst mal beschränke ich mich auf den Fall einer eindimensionalen Bewegung. Stell Dir also vor, da rollt eine Billardkugel in einer waagerechten Rinne. Da ihre Reibung an der Rinnenwand vernachlässigbar klein sein soll, würde sie ewig mit konstanter Geschwindigkeit weiterrollen. Aber wir wollen ihre Strömungsreibung mit der Luft berücksichtigen. Wie Du schon weißt, wird die Kugel dann durch eine geschwindigkeitsabhängige Reibungskraft vom Betrag

F(v) = c A rho/2 v²

abgebremst (Bedeutungen der Konstanten c, a, rho klar).

Das dritte Newtonsche Axiom besagt, daß bei konstanter Masse gilt

F = m a

wobei die Größe „Beschleunigung“ (_Momentan_beschleunigung!) definiert ist als

a = dv/dt

und die Größe „Geschwindigkeit“ (_Momentan_geschwindigkeit!) als

v = ds/dt

(s = Wegstrecke, Ort, Position).

Das Ding „dv“ bezeichnet dabei den klitzekleinen Geschwindigkeitszuwachs während der Uhrzeiger um die klitzekleine Zeit „dt“ vorgerückt ist; entsprechend ist „ds“ der klitzekleine Wegzuwachs während der Uhrzeiger um die klitzekleine Zeit „dt“ vorgerückt ist. Es ist ganz wichtig, daß man hier „a = dv/dt“ und „v = ds/dt“ schreibt, und nicht etwa „a = v/t“ und „v = s/t“! Die Gleichung „v = s/t“ beispielsweise gilt nämlich nur für den Fall einer Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit, und der liegt ja hier gerade nicht vor. Da die wenigsten Bewegungen solche mit konstanter Geschwindigkeit sind (sie sind zwar schön einfach, aber total langweilig), darf man behaupten, daß der Spruch „Geschwindigkeit = Weg/Zeit“ fast immer falsch ist. Dagegen ist „v = ds/dt“ immer richtig (nicht nur fast immer, sondern wirklich ausnahmslos immer). Daß es wichtig ist, zwischen dem zu einem bestimmten Zeitpunkt t zurückgelegten Weg s („doof“) und dem zwischen den nahe beieinanderliegenden Zeitpunkten t und t + dt Vorwärtskommen der Kugel von s nach s + ds („intelligent“) zu unterscheiden, solltest Du gut verstanden haben (und am besten nie mehr vergessen ). Der Quotient „s/t“ ist die Durchschnitts geschwindigkeit („langweilig“), der Quotient „ds/dt“ dagegen die Momentan geschwindigkeit („interessant“).

Die Mathematiker nennen solche stets klitzekleinen Gebilde wie „dt“, „ds“ oder „dv“ auch „Differentiale“, und Quotienten daraus wie z. B. „ds/dt“ oder „dv/dt“ „Differentialquotienten“. Was ich Dir oben erklärt habe, sind die elementarsten Grundlagen der Differential- und Integralrechnung.

So, und damit haben wir schon das ganze Know-How zusammen, um die Bewegung der Billardkugel in der Rinne zu simulieren!

Die Kraft auf die Kugel beträgt

F(v) = – k v²

wobei k = c A rho/2 ist (Konstante). Das Minuszeichen auf der rechten Seite dürfen wir auf keinen Fall vergessen; es drückt aus, daß die Kraft entgegengesetzt zur Richtung der Geschwindigkeit ist.

Haben wir die Kraft, so können wir mit Newton III die Beschleunigung a der Kugel berechnen:

a := F/m

(":=" = Zuweisungsoperator; rechte Seite wird der linken zugewiesen)

Kennen wir a, so wissen wir auch, wie stark sich die Geschwindigkeit während einer kurzen Zeitspanne dt ändert, nämlich um den Betrag dv = a dt. Also ist die „neue“ Geschwindigkeit gleich der „alten“ plus die Änderung:

v := v + a dt

Und das gleiche Spiel müssen wir jetzt nur noch mit dem Weg machen: Kennen wir v, so wissen wir auch, wie stark sich der Weg während einer kurzen Zeitspanne dt ändert, nämlich um den Betrag ds = v dt. Also ist die „neue“ Wegstrecke gleich der „alten“ plus die Änderung:

s := s + v dt

Und zuguter letzt ist noch der Uhrzeiger selbst um dt vorgerückt:

t := t + dt.

Zusammengefaßt:

F := – k v²

a := F/m

v := v + a dt

s := s + v dt

t := t + dt.

Diese fünf Zeilen sind nun beginnend bei irgendeiner Zeit t₀ viele Male durchzuiterieren.

Dabei müssen vor der Iteration folgende Werte festgelegt werden:

– die „Systemparameter“ k und m

– der Startzeitpnkt t₀

– die „Anfangsbedingungen“ v(t = t₀) und s(t = t₀)

– der Wert für den „Zeitschritt“ dt

Eine vollständige Programmroutine könnte also z. B. so aussehen:

k := ...
m := ...
~
t := 0.0
v := 0.2
s := 0.0
~
dt := 0.01
~
Solange Benutzer nicht abbricht wiederhole
 {
 F := -k\*v\*v
~
 a := F/m
~
 v := v + a\*dt
~
 s := s + v\*dt
~
 [Ausgabe der interessierenden Daten]
~
 t := t + dt
 } 

Dieses Verfahren nennen die Mathematiker übrigens „Polygonzugmethode“ oder „Euler-Integration“. Integriert wird hier die Bewegungsgleichung „a + k/m v^2 = 0“ der Kugel. Der entscheidende Schritt bei der Herleitung dieses Algorithmus’ war der Übergang von den Differentialquotienten „a = dv/dt“ und „v = ds/dt“ zu den Programmanweisungen „v := v + a*dt“ und „s := s + v*dt“. Da wir die Differentialquotienten dabei sozusagen umgedreht haben, führt der Algorithmus eine numerische Integration (Gegenstück zur Differentiation, d. h. Differentialquotienten-Berechnung) durch.

Bei einem Gewehrprojektil statt einer Billardkugel wird die Sache etwas komplizierter, weil diese Bewegung zweidimensional ist („Höhe und Weite“). Dieses Problem lösen wir dadurch, daß wir die Horizontal- („x“) und die Vertikalrichtung („y“) getrennt integrieren, was grundsätzlich erlaubt ist (Stichwort „Superposition von Bewegungen“).

Zunächst halten wir fest, daß wir es bei den Größen „a“, „v“ und „s“ jetzt mit zweidimensionalen Vektoren zu tun haben:

a> = (a_x, a_y)
v> = (v_x, v_y)
r> = (x, y)

Außerdem müssen wir dem Umstand Rechnung tragen, daß die Kraft auf das Projektil ebenfalls ein Vektor ist. Sie setzt sich jetzt aus zwei Anteilen zusammen: erstens der Reibungskraft und zweitens der nach unten wirkenden Gewichtskraft des Projektils. Das können wir mathematisch so ausdrücken:

F>_Projektil = F>_Reibung + F>_Grav

wobei

F>_Reibung(v) = – k v² e>_v

F>_Grav = m g>

e>_v ist der Einheitsvektor in Richtung von v>.

F>_Reibung und F>_Grav müssen wir nun in ihre Komponenten zerlegen:

F_{Reibung x} = – k v² cosvphi
F_{Reibung y} = – k v² sinvphi

cosvphi und sinvphi bezeichnen darin gerade die Komponenten von e>_v in x- bzw. y-Richtung. Es gilt:

cosvphi = v_x/v
sinvphi = v_y/v.

Der Betrag der Geschwindigkeit v ergibt sich aus den Geschwindigkeitskomponenten v_x und v_y nach dem Satz des Pythagoras zu („sqrt“ = Quadratwurzel)

v = sqrt(v_x² + v_y²)

Mit den Komponenten der Gravitationskraft haben wir es einfacher:

F>_{Grav x} = 0
F>_{Grav y} = – m g

Damit haben wir alles beisammen, um den Algorithmus für das Projektil aufzustellen:

k := ...
m := ...
g := 9.81
~
t := 0.0
vx := 800.0
vy := 0.0
x := 0.0
y := 0.0
~
dt := 0.01
~
Solange Benutzer nicht abbricht wiederhole
 {
 v := sqrt(vx\*vx + vy\*vy)
~ 
 cosvphi := vx/v
 sinvphi := vy/v
~
 Fx := -k\*v\*v cosphi
 Fy := -k\*v\*v sinphi - m g
~
 ax := Fx/m
 ay := Fy/m
~
 vx := vx + ax\*dt
 vy := vy + ay\*dt
~
 x := x + vx\*dt
 y := y + vy\*dt
~
 [Ausgabe der interessierenden Daten]
~
 t := t + dt
 }

Zu Beginn muß jetzt zusätzlich zu k und m noch der Wert für g festgelegt werden, und für die Anfangsgeschwindigkeit v>₀ und die Anfangsposition r>₀ jeweils ihre x- und y-Komponenten.

Als „Datenausgabe“ bietet sich natürlich an erster Stelle die Raumkurve an (dann (x, y) an Plotroutine übergeben), aber man kann sich genausogut z. B. auch für den Höhenverlust des Projektils mit der Zeit interessieren (dann (t, y) an Plotroutine übergeben), oder für die Bremskraft, die das Projektil zeitlich in x-Richtung erfährt (dann (t, F_x) an Plotroutine übergeben).

Übrigens: Die Bewegungsgleichung für den zweidimensionalen Luftreibungs-Fall kann nicht „geschlossen“ (d. h. „formelmäßig“)integriert werden . Die Werte in Tabellenbüchern sind also nichts anderes als Ergebnisse numerischer Integrationsverfahren, von denen ich Dir hier das einfachste vorgestellt habe. Gewisse Näherungsformeln kann man dann natürlich daraus ableiten.

Der Algorithmus für den allgemeinen dreidimensionalen Fall lautet vektoriell formuliert:

t := 0.0
v\> := ...
r\> := ...
~
dt := 0.01
~
Solange Benutzer nicht abbricht wiederhole
 {
 F\> := Kraftfunktion(x, y, z, vx, vy, vz, t)
~
 a\> := F\>/m
~
 v\> := v\> + a\>\*dt
~
 r\> := r\> + v\>\*dt
~
 [Ausgabe der interessierenden Daten]
~
 t := t + dt
 }

Ich hoffe, Du hast keine Schwierigkeiten mit der Formulierung „v> := v> + a>*dt“. Sie ist mathematisch völlig korrekt; bitte denke selbst darüber nach.

Dieser Algorithmus erlaubt schon die Behandlung ziemlich vieler Systeme. Durch das Aufstellen der jeweiligen Kraftfunktion kannst Du damit die Bewegung der Erde um die Sonne simulieren, oder die eines Elektrons in einem Magnetfeld, oder einen angetriebenen gedämpften Oszillator. Was nicht geht, ist die Bewegung beim Start einer Rakete, weil sie dabei Masse verliert (wegen Treibstoffausstoß). Der Algorithmus setzt in der obigen Form voraus, daß die Masse m konstant bleibt. Die Verallgemeinerung für Fälle mit nicht-konstanter Masse (z. B. Raketen oder Güterwaggons, die während der Fahrt von oben mit Sand beladen werden etc.) wäre jedoch leicht zu bewerkstelligen: man benötigt dazu analog zur Kraftfunktion auch noch eine Massefunktion. Die Zeilen

F> = Kraftfunktion(…)
a> := F>/m

wären dann zu ersetzen durch

F> := Kraftfunktion(…)
m := Massefunktion(…)
a> := F>/m

So, das soll jetzt aber wirklich reichen. Ich hoffe, daß Du mit meinen Erklärungen einigermaßen klargekommen bist, bzw. daß Dir damit die Simulation der Projektilbewegung gelingt.

Mit freundlichem Gruß
Martin

[Flytrap]

Hallo auch,

PS: Frage an alle: Kann man das nicht auch per Integralrechnung
in eine Formel quetschen?

Habe ich gerade mal versucht. Wenn ich mich nicht irgendwo verrechnet habe, kommt raus:

v/v₀ = exp[-c_wρAs/(2m)]

Hinweis: Eigentlich sollte diese Formel in ein Antwortposting zu Stefan’s Ausführungen, nur habe ich leider den falschen Knopf erwischt. Entschuldigung. Stefans Rechnung ist nun leider im Nirwana.

Gruß von einem zerknirschten Kubi

[Fabian_74b46e]

Danke
Jo danke Martin,
der Artikel war supereinfach zu verstehen
(sogar für mich)
und daswegen bekommst du auch ein Punkt.
Fabian