Gewinnwahrscheinlichkeit beim Bingo

Wissenschaft Mathematik
#1

Ahoi,

gleich vorweg, Mathe war immer eins meiner Lieblingsfächer aber es gibt eine Sache da beiße ich mir gerade meine Zähne aus.
Geht um die Gewinnwahrscheinlichkeit beim Bingo.

Man stelle sich einen Topf aus 100 Zahlen vor. In jeder Spielrunde werden 20 davon gezogen.
Der Spieler darf entscheiden auf wie viele Zahlen er setzt. Von 2 bis 20.
Je nach Anzahl der richtig getippten Zahlen wird ein Gewinn ausgeschüttet.

Was mir Kopfzerbrechen bereitet ist die Unterschiedliche Anzahl der gezogenen und der getippten Zahlen. Beim Lotto 6 aus 49 muss man das nicht berücksichtigen.
Wer hat einen Lösungsansatz, gerne auch mit weniger Zahlen.
Zb. 10 insgesamt. 5 ziehen. 3 tippen. Wie wahrscheinlich dass 2 richtig sind?

Viel Spaß beim Knobeln :smile:
Und im Voraus Danke für Eure Hilfe

#2

Moin,

ich hoffe, ich vertue mich nicht, aber für

i insgesamt ,
z ziehen ,
t tippen
ist die Wahrscheinlichkeit für
r richtige :

[(z über r)*(i-z über t-r)]/(i über t).

Für dein Beispiel ergibt sich dann
[(5 über 2)*(10-5 über 3-2)]/(10 über 3)
=[(5 über 2)*(5 über 1)]/(10 über 3)
=[10*5]/120 = 5/12 = 41,67%

Liebe Grüße
DaChwa

#3

Gewinnwahrscheinlichkeit (mit LaTex)
Moin,

jetzt nochmal, diesmal mit den richtigen Formel-Symbolen:

für
i insgesamt ,
z ziehen ,
t tippen
ist die Wahrscheinlichkeit für
r richtige :

\frac{\binom{z}{r}\binom{i-z}{t-r}}{\binom{i}{t}} .

Für dein Beispiel ergibt sich dann

\frac{\binom{5}{2}\binom{10-5}{3-2}}{\binom{10}{3}}
=\frac{\binom{5}{2}\binom{5}{1}}{\binom{10}{3}}
=\frac{10*5}{120}
=\frac{5}{12}
=41,67%

Liebe Grüße
DaChwa

#4

Ich kenne Wahrscheinlichkeitsrechnug mit Fakultäten.
Wie berechne ich das mit dem „über“ in der Klammer? Bin mir nicht sicher ob ich das richtig verstanden habe.

Also ich versuche das mit weniger Zahlen jetzt mal an einem Baumdiagramm.

Danke für deine Mühe :smile:

#5

Hat was mit Binomialkoeffizient zu tun aber ich habe keine Ahnung mehr wie man das rechnen muss.

#6

Moin!

Das „über“ soll der Binomialkoeffizient sein, im LaTex ist das \binom{n}{k}.

Der Binomialkoeffizient gibt an, wie viele Möglichkeiten es gibt, k Elemente aus einer Menge von n Elementen auszuwählen.

\binom{49}{6} gibt beispielsweise an, wie viele Möglichkeiten es gibt, 6 aus 49 auszuwählen (also quasi, wie viele mögliche Ziehungen es beim Lotto gibt).

Der Binomialkoeffizient berechnet sich dabei wie folgt:

\binom{n}{k}
=\frac{n!}{k!*(n-k)!}

So kommen die von dir erwähnten Fakultäten ins Spiel…

Ich hab grad leider nich so viel Zeit, aber vielleicht in ner Stunde oder so. Dann versuch ich mich mal dran, dir die Herleitung der von mir in meinen ersten Antworten angegebenen Antwort zu erklären…

Liebe Grüße
DaChwa

#7

Hi!

Das ganze Spiel nennt sich „hypergeometrische Verteilung“. Gib das einfach mal bei Wikipedia ein, da ist es relativ gut erklärt.

Mit dem „über“, das berechnet sich wie folgt:

10 über 5 = (10!)/(5!*(10-5)!)

Hoffe, es hilft dir weiter,
liebe Grüße,

Kathrin!!!

#8

Gewinnwahrscheinlichkeit (Herleitung)
Moin!

Hier die Herleitung der Formel.

Die Formel aus meiner Antwort war

\frac{\binom{z}{r}\binom{i-z}{t-r}}{\binom{i}{t}}

mit
i = insgesamt vorhandene Zahlen
z = Anzahl gezogene Zahlen
t = Anzahl getippte zahlen
r = richtig getippte Zahlen

Ein Binomialkoeffizient \binom{n}{k} gibt an, wie viele Möglichkeiten es gibt, aus n Elementen k auszuwählen. Das müssen wir im Hinterkopf behalten.

Da eine Wahscheinlichkeit immer die Anzahl der günstigen Ereignisse geteilt durch die Anzahl der möglichen Ereignisse ist, müssen wir erstmal überlegen, wie viele mögliche Ereignisse es bei unserer Ziehung gibt.

Wir wollen t Zahlen aus i Zahlen tippen. Und es gibt (wie oben erwähnt) genau \binom{i}{t} Möglichkeiten, t Zahlen aus insgesamt i Zahlen zu wählen. Also ergeben sich für die Anzahl der möglichen Ereignisse \binom{i}{t}.

Nun zu den für uns günstigen Ereignissen:

  1. Wir wollen r richtige Tipps haben. Es müssen sich unter den z gezogenen Zahlen also r von unseren befinden. Und es gibt \binom{z}{r} Möglichkeiten, r von unseren auf z gezogene zu verteilen.

  2. Es müssen sich unsere restlichen Zahlen unter den nicht gezogenen Zahlen befinden. Wir haben (t-r) restliche Zahlen, da wir t getippt haben und r richtig sein sollen, und (i-z) nicht gezogene Zahlen, da es insgesamt i Zahlen sind, von denen z gezogen sind.
    Es gibt \binom{i-z}{t-r} Möglichkeiten, unsere restlichen auf die nicht gezogenen Zahlen zu verteilen.

Da 1. und 2. gleichzeitig auftreten müssen, müssen wir die Anzahlen der Möglichkeiten miteinander multiplizieren, schließlich kann jede Möglichkeit aus 1. mit jeder Möglichkeit aus 2. kombiniert werden.

Somit ergeben sich \binom{z}{r}*\binom{i-z}{t-r} günstige Möglichkeiten, also Möglichkeiten, die das erfüllen, was wir wollen (genau r richtige Tipps).

Da die Wahrscheinlichkeit ja die Anzahl der günstigen durch die Anzahl aller möglichen Ereignisse war, ist die Wahrscheinlichkeit für r richtige also

\frac{\binom{z}{r}*\binom{i-z}{t-r}}{\binom{i}{t}}

Ich hoffe, dass diese Erklärung halbwegs verständlich war. Wenn nich, tja, Pech gehabt oder nochmal nachfragen :wink:

Liebe Grüße
DaChwa

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#9

Dann ist da mit den Kalmmern eine Kurzschreibweise die mir unbekannt war. Danke für Eure Hilfe.
Werde mit einem Computerprogramm das ganze anhand eines Experiments überprüfen.

Vielen Dank an alle