Hallo!
Tschuldigen Sie, ich hab da mal ein Problem - insbesondere mit Algebra. Wegen Überschneidungen kann ich da nämlich nur max. 2/3 der Vorlesungen besuchen und als ich diese Übungsaufgabe sah, kapitulierte mein Verstand/ Verständnis (???). Mein eigentlich schlaues Buch konnte mir auch nicht mehr weiterhelfen.
„Man stelle den ggT von 31-2i und 6+8i als Linearkombination in Z+Zi dar.“
Erste Frage: Was ist der ggT von komplexen Zahlen? So rein vorstellungstechnisch?
Und zweitens: Wie berechnet man das?
Denn irgendwie endeten meine bescheidenen Versuche, die Teiler von 31-2i zu berechnen, immer bei 1 und i - und was ist dann der ggT?
Fragen über Fragen, ich hoffe auf Antwort.
Gruß sannah
Hallo,
Du meinst vermutlich die ganzen gaußschen Zahlen (Z[i] oder auch Z(sqrt(-1))).
„Man stelle den ggT von 31-2i und 6+8i als Linearkombination in Z+Zi dar.“
also als ggT(31-2i,6+8i)=u*(31-2i)+v*(6+8i) mit u,v∈ Z[i].
Erste Frage: Was ist der ggT von komplexen Zahlen? So rein vorstellungstechnisch?
Nun, daß ist der „größte gemeinsame“ Teiler dieser beiden Zahlen. Teiler ist wie üblich als a | b gdw. es gibt es t∈ Z[i] mit ta=b definiert. Ein gemeinsamer Teiler t von a und b ist einer der sowohl a, wie auch b teilt. Er ist der größte, wenn jeder andere gemeinsame Teiler t’, t teilt, also t | a und t | b und (t’ | a und t’ | b => t’ | t).
Und zweitens: Wie berechnet man das?
Stichwort wäre (erweiterter) euklidischer Algorithmus in euklidischen Ringen. Wenn Du nicht weiterkommst, melde Dich nochmal.
Denn irgendwie endeten meine bescheidenen Versuche, die Teiler
von 31-2i zu berechnen, immer bei 1 und i - und was ist dann der ggT?
1,-1,i,und -i sind immer Teiler von diesen Zahlen.
Gruss
Enno
Hallo
Nun, daß ist der „größte gemeinsame“ Teiler dieser beiden
Zahlen. Teiler ist wie üblich als a | b gdw. es gibt es
t∈ Z[i] mit ta=b definiert. Ein gemeinsamer Teiler t von
a und b ist einer der sowohl a, wie auch b teilt. Er ist der
größte, wenn jeder andere gemeinsame Teiler t’, t teilt, also
t | a und t | b und (t’ | a und t’ | b => t’ | t).
Naja, so weit war ich auch schon. ggT ist mir allgemein klar, ich weiß nur nicht, wie man sich das in den ganzen Gaußschen Zahlen vorstellen kann. Wenn man das kann.
Und zweitens: Wie berechnet man das?
Stichwort wäre (erweiterter) euklidischer Algorithmus in
euklidischen Ringen.
Werde ich mal mit ansetzen. Den euklidischen kenne ich, wie auch immer der erweitert wird. In irgendeinem Buch wird es schon stehen.
1,-1,i,und -i sind immer Teiler von diesen Zahlen.
Und wenn es keine weiteren Teiler geben sollte für 31-2i - ist das denn so was wie eine „Primzahl“ in Z[i]?
Gruß sannah
(die sich jetzt wahrscheinlich als ziemlich blöd outet…)
Hallo,
Und wenn es keine weiteren Teiler geben sollte für 31-2i - ist
das denn so was wie eine „Primzahl“ in Z[i]?
allgemein definiert man den Begriff so, daß aus p=ab immer folgt, das a=p oder b=p und das verbleibene b oder a eine „Einheit“ ist, was in Z[i] gerade 1,-1,i,-i sind („Einheiten“ sind diejenigen Elemente des Rings, die ein multiplikatives Inverselement haben). Die Primzahlen von Z[i] lassen sich direkt angeben. Fangen wir mit denjenigen an, die auch aus Z bekannt sind. Alle Primzahlen mit p mod 4=3 sind auch Primzahlen in Z[i]. Für Primzahlen der Form p mod 4=1 gilt dies i.allg. nicht, denn z.B. 5=(2+i)*(2-i). Ebenso macht die 2 Probleme, denn 2=(1+i)*(1-i). Allerdings gilt hier grundsätzlich das p=(a+bi)*(a-bi) und a+bi eine Primzahl in Z[i] ist. Zu guter letzt nimmt man noch die 1+i hinzu und schließt alles gegenüber den Einheiten ab und man hat alle Primzahlen von Z[i].
Gruss
Enno
PS: Bevor Du länglich suchst, schau ich mir den eukl. Algorithmus für Z[i] morgen noch mal an. Ist bei mir nur gut 10 Jahre her und ich will nicht „aus dem Ärmel“ heraus irgendwelchen Murks erzählen.