Gibt es eine Formel dafür?

Wissenschaft Mathematik
#1

Hallo,

mein Schul-Unterricht liegt schon lange hinter mir und ich weiß auch gar nicht
ob wir sowas im Unterricht besprochen haben…
Deswegen frage ich mal hier im Forum nach.

Wenn man z.B. eine Murmel nimmt die im Durchmesser 2 cm misst und gruppiert um sie herum Murmeln mit dem gleichen Durchmesser, dann passen exakt 6 Murmeln drum herum.
Das gleiche eben bei allen Dingen die so ziemlich den gleichen Durchmesser haben
und man weiß auf den ersten Blick- ohne zu zählen- es sind 7

Gibt es also eine Formel dafür?

LG
Marion

#2

Moin, Marion,

mit einiger Mühe ließe sich die Formel aufstellen, die in Abhängigkeit der Durchmesser angäbe, wie viele Kreise mit dem Durchmesser a auf einem Kreis mit dem Durchmesser b Platz haben. Anhand der Formel ließe sich dann zeigen, dass es genau 6 Kugeln sind, wenn a = b.

Da man für diese Erkenntnis aber keine Formel braucht, wird sie wohl in keiner Formelsammlung zu finden sein. Die Kugellagerbauer brauchen sie vermutlich auch nicht, weil sie dafür Tabellen haben (und sich die Kugeln auf dem Rollkreis eh nicht berühren dürfen).

Gruß Ralf

#3

Wenn man z.B. eine Murmel nimmt die im Durchmesser 2 cm misst
und gruppiert um sie herum Murmeln mit dem gleichen
Durchmesser, dann passen exakt 6 Murmeln drum herum.
Das gleiche eben bei allen Dingen die so ziemlich den gleichen
Durchmesser haben
und man weiß auf den ersten Blick- ohne zu zählen- es sind 7

Gibt es also eine Formel dafür?

Hi Marion,

sagen wir es passen n kleine Kugeln mit dem Radius r um die große Kugel mit dem Radius R in der Mitte. Wenn du die Mittelpunkte der kleinen Kugeln miteinander verbindest entsteht ein regelmäßiges n-Eck mit Kantenlänge 2r. Der Abstand der Ecken vom Mittelpunkt (dem der großen Kugel) ist R+r. Wenn du nun jede Ecke mit dem Mittelpunkt verbindest entstehen n Dreiecke. Der Mittelpunktswinkel jedes Dreiecks ist

\alpha=2\arcsin\left(\frac{r}{R+r}\right)

Alle Dreiecke zusammen ergeben einen Mittelpunktswinkel von 360°.
Damit hast du die Formel

n=\frac{360^\circ}{2\arcsin\left(\frac{r}{R+r}\right)}

für die Anzahl von kleinen Kugeln die um die große herum passen. Ich schätze allerdings, dass da in den seltensten Fällen eine ganze Zahl rauskommen wird.

Grüße

hendrik

#4

Für den von dir angesprochenen Spezialfall (alle Durchmesser sind gleich), kannst du folgende Überlegung anstellen:

Drei Kugeln im Dreieck gruppiert (jede berührt die beiden anderen, alle drei liegen auf einer Ebene) bilden ein gleichseitiges Dreieck: Die Mittelpunkt der Kugeln sind gleichweit entfernt.

Ein gleichseitiges Dreieck hat Innenwinkel 60 Grad.

Ein Kreis hat einen „Innenwinkel“ von 360° = 6 * 60°.

Damit passen 6 Kugeln in der Ebene um eine Kugel herum. Jeweis zwei benachbarte Periphärkugeln bilden mit der Mittelpunktskugel wieder ein gleichseitiges Dreieck, wie oben beschrieben.

Gruß Bombadil2

#5

Jo,
das muss mal aber hinmalen.
Male einen Mittelkreis und die 6 Kreise, die auf ihm liegen. Dann nimm zwei benachbarte Kreise heraus und verbinde ihre Mittelpunkte mit einander und mit dem Mittelpunkt des Mittelkreises. Es entsteht ein gleichseitiges Dreieck mit der Seitenlänge des doppelten Kreisradius. Ein Gleichseitiges Dreieck hat immer 60° Winkel. Und wenn du für alle Kreise solche Dreiecke machst bekommst du genau 6 solcher Dreiecke, weil in 360° = 6 * 60°
Der Knackpunckt ist, dass ein Gleichseitiges Dreieck immer 60° hat.

#6

Vielen Dank für die umfangreichen Antworten :wink: