Hallo!
Ich hätte mal eine Frage an die Geometrie-Spezialisten: Betrachten wir mal ein Hauptfaserbündel P über einer Mannigfaltigkeit M mit Projektion p: P -> M und mit der Wirkung der Lie-Gruppe G auf P (von rechts). Sei U eine offene Menge von M auf der ein glatter Schnitt
s : U -> P
definiert ist. Dann kann man angeblich eine lokale Trivialisierung
t : p^{-1}(U) -> U x G
durch
t( s(x)*g ) = (x,g)
definieren. Es ist klar dass t bijektiv und t^{-1} glatt ist. Was ich nicht verstehe: Wie sieht man denn bitte ein dass das oben definierte t eine glatte Abbildung ist?
Beste Grüße, Flo
Hallo Florian,
die Glattheit direkt nachzurechnen halte ich für reichlich umständlich, da man dafür ja eine Bündelkarte benötigte, die man wiederum aus einer lokalen Trivialisierung erhält, welche ihrerseits nicht zwingend mit der durch die gegebene Vorschrift definierten identisch ist.
Ich denke mal (ohne jetzt tiefer darüber nachzugrübeln), dass der Umkehrsatz hier weiterhilft. Wenn Du weißt, dass t-1 differenzierbar und bijektiv ist, dann kannst Du doch (unter bestimmten Voraussetzungen, die mir gerade nicht einfallen) auch auf die Differenzierbarkeit von t schließen. Gilt dies nicht auch (unter womöglich schärferen Bedingungen) für Glattheit?
Liebe Grüße
Immo
Hi!
Die Glattheit von t würde mit dem Umkehrsatz folgen, wenn man wüsste, dass das Differential von t^{-1} an einer beliebigen Stelle ein Isomorphismus ist. Das müsste man dann mit Kurven nachrechnen. Ich hatte schon selber daran gedacht aber ich sehe keine Möglichkeit wie man es machen sollte.
Meine Überlegungen gehen eher in die Richtung zu benutzen das p^{-1}(x) eine Untermannigfaltigkeit ist (p ist eine Submersion) um sich dann um einen beliebigen Punkt in p^{-1}(x) eine Untermannigfaltigkeitskarte zu besorgen und mit Hilfe der Glattheit von t^{-1} spezielle Koordinaten auf G so einzuführen, dass die Abbildung t lokal wie die Identität aussieht. Da bin ich aber noch nicht weitergekommen. Vielleicht fällt dir was ein.
Beste Grüße, Flo