Die Punkte A B C und D bilden ein Quadrat. Der Punkt S (Spitze der Pyramide) liegt auf einer Geraden durch den Mittelpunkt des Quadrats.
S liegt, wenn man die Pyramide von oben betrachten würde genau über M (bzw. anders gesagt, SM ist der Normalenvektor zur Ebene ABCD).
Es ist nun die Koordinaten eines Punkts H gesucht, der jeweils von A,B,C,D und S die gleiche Entfernung hat.
Wie berechnet man nun die Koordinaten dieses Punktes.
Meine bisherige Überlegung war, dass der Punkt auf der Gerade SM liegen muss, da sonst die Bedingung dass er von A,B,C,D gleich weit entfernt sein muss nicht erfüllt werden kann.
Müsste H nur von den vieren gleich weit entfernt sein, so wäre es M oder?
Da er aber von S noch genausoweit entfernt sein muss, komme ich hier nicht weiter.
Hallo,
wenn du A,B,C,D und S kennst, kannst du M bestimmen und alle Winkel im (rechtwinkligen) Dreieck AMS (A nur als Beispiel, geht auch mit B,C oder D mit dem selben Ergebnis) bestimmen. alpha bei A, sigma bei S und der rechte Winkel bei M
Wenn nun AH und HS gleich sind, ist das Dreieck AHS gleichschenklig und da wir wissen, daß H auf der Geraden durch S und M liegt, haben wir zweimal sigma. Daraus folgt (HM)/(AM) = tan(alpha-sigma) (also die Strecken), nach (HM) auflösen und schon wissen wir wie weit H von M weg ist (positiv in Richtung S innerhalb, negativ außerhalb der Pyramide und damit können wir H bestimmen.
Geht sicher auch anders und man kann das sicher auch schöner beschreiben, aber das Ergebnis sollte das selbe bleiben.
Meine bisherige Überlegung war, dass der Punkt auf der Gerade
SM liegen muss,
richtig. Dann drück das doch mal bitteschön mathematisch aus und schwupps, hast Du schon Gleichung Nummer Eins.
Wenn Du außerdem die Chose mal gepflegt aufmalst und Dir was Nettes mit dem Pythagoras überlegst (*), hast Du eine zweite Gleichung. Mit den beiden Gleichungen kommst Du schnell auf die Lösung.
(*) nämlich einerseits (X = der gesuchte Punkt, bei Dir „H“): AX-Abstandsquadrat = AM-Abstandsquadrat + MX-Abstandsquadrat. Andererseits: AX-Abstandsquadrat = SX-Abstandsquadrat. Also können die rechten Seiten gleichgesetzt werden.