gleichförmige Kreisbewegung

[Anja_ab2450]

Hallo!

Ich bin gerade schier am Verzweifeln wegen einer Aufgabe zur gleichförmigen Kreisbewegung. Für Tipps zur Lösung wäre ich dankbar.

Hier die Aufgabe:

Für die kartesischen Komponenten einer gleichförmigen Kreisbewegung eines Massepunktes der Masse m gilt: x(t) = R cos ωt, y(t) = R sin ωt, z(t) = 0. R stellt hierbei den Radius dar, ω die Kreisfrequenz, die mit der Umlaufzeit T über ωT = 2π zusammenhängt.
a) Zeigen Sie, dass zu jedem Zeitpunkt der Geschwindigkeitsvektor v(t) senkrecht auf dem Ortsvektor r(t) steht.
b) Zeigen Sie, dass gilt: Betrag von v(t) = Kreisumfang/Umlaufzeit
c) Zeigen Sie, dass der Drehimpuls eine Konstante der Bewegung ist.
d) Wie lautet der Ausdruck für die Zentripetalkraft Fzent

[Michael_Bauer_c1319c]

Hallo!

Für die kartesischen Komponenten einer gleichförmigen
Kreisbewegung eines Massepunktes der Masse m gilt: x(t) = R
cos ωt, y(t) = R sin ωt, z(t) = 0. R stellt hierbei
den Radius dar, ω die Kreisfrequenz, die mit der
Umlaufzeit T über ωT = 2π zusammenhängt.
a) Zeigen Sie, dass zu jedem Zeitpunkt der
Geschwindigkeitsvektor v(t) senkrecht auf dem Ortsvektor r(t)
steht.

v (t) = (dx/dt, dy/dt)

x(t) = R cos ωt
dx/dt = - ωR sin ωt

y(t) = R sin ωt
dy/dt = ωR cos ωt

Skalarprodukt

v x = - ωR sin ωt * R cos ωt + ωR cos ωt * R sin ωt
= 0

q.e.d.

(Wenn das Skalarprodukt aus zwei Vektoren Null ist, stehen sie senkrecht aufeinander).

Die Einleitung ist klar. Aber von welchen Voraussetzungen kann
ich ausgehen, um a) zu lösen? Dazu reichen ja die Angaben in
der Einleitung nicht aus.

Doch. (Wie Du siehst). Bei Kreisbewegung ist die Geschwindigkeit immer senkrecht zum Radius. Geometrisch ist das eh klar: Der Geschwindigkeitsvektor zeigt in Richtung der Tangente, die Tangente steht senkrecht auf dem Radius.

Michael

P.S.: Fettdruck = Vektor.

[Michael_Bauer_c1319c]

v x = - ωR sin ωt * R cos ωt + ωR
cos ωt * R sin ωt

Sorry, der Ortsvektor heißt in dieser Aufgabe natürlich r , nicht x. Daher sollte es heißen:

v r = - ωR sin ωt * R cos ωt + ωR cos ωt * R sin ωt

[Anja_ab2450]

Hallo Michael,

vielen Dank! Mir war nicht klar, wie ich die Geschwindigkeit mit Hilfe von x und y ausdrücke, aber jetzt, wo ich es sehe, erscheint es doch absolut logisch.

Ok, Aufgabe b) habe ich damit auch schon rausbekommen, aber ich schreibe sie vorsichtshalber mal hierhin, um mich davon zu überzeugen, dass mein Lösungsweg richtig ist.

| v (t)| = Wurzel ( (ωR*cos(ωt))² + (-ωR*sin(ωt))² ) = Wurzel ( ω²R² * (cos²(ωt) + sin²(ωt)) ) = ωR
u = 2*pi*R
| v (t)| = ωR = (2*pi / T) * R

Nun kommt bei c) die Aufgabe mit dem Drehimpuls. In der Vorlesung wurde bereits gezeigt, dass d L /dt = D , wobei L der Drehimpuls und D der Drehmoment ist. Wenn der Drehmoment 0 beträgt, ist L konstant. Dies gilt für Zentralkräfte, zu denen auch die Zentripetalkraft gehört. Ist damit nicht eigentlich schon die Aufgabe gelöst? Oder was ist gemeint mit „Konstante der Bewegung“?

Und zu d): Die Zentripetalkraft ist antiparallel zum Radius. Damit ist ihre Richtung schon mal klar ( r /| r |). Aber wie stelle ich den Ausdruck auf?

Viele Grüße,
Anja

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[Michael_Bauer_c1319c]

Hallo!

Ok, Aufgabe b) habe ich damit auch schon rausbekommen, aber
ich schreibe sie vorsichtshalber mal hierhin, um mich davon zu
überzeugen, dass mein Lösungsweg richtig ist.

sieht gut aus.

Nun kommt bei c) die Aufgabe mit dem Drehimpuls. In der
Vorlesung wurde bereits gezeigt, dass d L /dt = D ,
wobei L der Drehimpuls und D der Drehmoment ist.
Wenn der Drehmoment 0 beträgt, ist L konstant. Dies
gilt für Zentralkräfte, zu denen auch die Zentripetalkraft
gehört. Ist damit nicht eigentlich schon die Aufgabe gelöst?
Oder was ist gemeint mit „Konstante der Bewegung“?

Für den Massenpunkt gilt
L = m r x v

(Das x steht hier für Kreuzprodukt).
Da v und r in der xy-Ebene liegen, interessiert nur die z-Komponente des Drehimpulses:

L_z = m(r_x * v_y - v_x * r_y)
= m * R² * ω

Damit ist L_z unabhängig von t. In anderen Worten: eine Konstante.

Und zu d): Die Zentripetalkraft ist antiparallel zum Radius.
Damit ist ihre Richtung schon mal klar ( r /| r |).
Aber wie stelle ich den Ausdruck auf?

Naja, wohl eher: - r /| r |

Die Zentripetalbeschleunigung beträgt:

a = (dx²/dt², dy²/dt²)
x(t) = R cos ωt
dx/dt = - ωR sin ωt
dx²/dt² = - ω²R cos ωt

y(t) = R sin ωt
dy/dt = ωR cos ωt
dy²/dt² = - ω²R sin ωt

Es gilt die Grundgleichung der Mechanik:
F = m a
= m (- ω²R cos ωt, - ω²R sin ωt)

bzw.

| F | = m * Wurzel ((- ω²R cos ωt)² + (- ω²R sin ωt)²)
= m * Wurzel (ω^4 R²)
= m ω² R

Die Aufgabe löst sich fast von selbst, wenn man das Hirn ausschaltet und nur Formeln einsetzt, ableitet und sich an der richtigen Stelle an den Satz des Pythagoras erinnert (sin²x + cos²x = 1). Die Physik ist nämlich eine sehr elegante Wissenschaft und die Vektorrechnung ein mächtiges Werkzeug.

Michael

[Anja_ab2450]

Hallo noch mal!

Danke! Ich werde mir das Ganze nachher noch mal genauer ansehen und nachrechnen.

Die Aufgabe löst sich fast von selbst, wenn man das Hirn
ausschaltet und nur Formeln einsetzt, ableitet und sich an der
richtigen Stelle an den Satz des Pythagoras erinnert (sin²x +
cos²x = 1). Die Physik ist nämlich eine sehr elegante
Wissenschaft und die Vektorrechnung ein mächtiges Werkzeug.

Das mathematische Rechnen geht ja, aber sobald auch nur der kleinste physikalische Sachverhalt auftaucht, stehe ich sofort auf dem Schlauch.

Auf jeden Fall bedanke ich mich noch einmal für deine Hilfe!

Grüße,
Anja

[Anja_ab2450]

Hi!

Vielen Dank für deine ausführlichen Erklärungen. Eine Sache ist mir trotzdem noch nicht klar:

Da v und r in der xy-Ebene liegen, interessiert
nur die z-Komponente des Drehimpulses

Warum kann die x-y-Ebene einfach ausgelassen und nur die z-Komponente betrachtet werden?

Viele Grüße,
Anja

[Anja_ab2450]

Ah, ok, hat sich mehr oder weniger erledigt. L HAT ja als axialer Vektor nur die eine z-Komponente, die anderen beiden sind gleich 0, weil L senkrecht auf dieser Ebene steht, oder?

[Michael_Bauer_c1319c]

Ah, ok, hat sich mehr oder weniger erledigt. L HAT ja
als axialer Vektor nur die eine z-Komponente, die anderen
beiden sind gleich 0, weil L senkrecht auf dieser Ebene
steht, oder?

Ja genau. Man kann es auch mit dem Kreuzprodukt erklären:

a x b = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)

Wie Du siehst, tauchen in den ersten beiden Komponenten in jedem Summanden Größen mit Index 3 auf. Da sich aber nach der Aufgabe alles in der xy-Ebene abspielt, sind alle z-Komponenten 0. Es bleibt also nur noch die L_z übrig, das keine z-Komponenten enthält.

Michael