Hallo ihr,
bräuchte mal einen Hinweis, in welchem Buch ich einen Beweis zu folgendem Satz finden könnte oder wie man das beweisen kann:
Sei c: [0,1] -> IR^2 stetige, geschlossene Kurve und epsilon > 0.
Dann existiert ein geschlossener Polygonzug p: [0,1] ->IR^2 mit supnorm(p-c)
Sei c: [0,1] -> IR^2 stetige, geschlossene Kurve und epsilon
> 0.
Dann existiert ein geschlossener Polygonzug p: [0,1] ->IR^2
mit supnorm(p-c) 1, so dass gilt
\mid t_2-t_1\mid (1)
Man unterteilt [0:1] in
0=t_0
und zwar so, dass sowohl
\mid t_{i+1}-t_i\mid (2)
als auch
\mid c(t_{i+1})-c(t_i)\mid (3)
Man kann sich leicht überlegen, dass das möglich ist.
Dann definiert man p als den Polygonzug mit
p(t_i)=c(t_i)\ \ \forall i=0,\ldots,N (4)
Jetzt wählt man t&isin [0,1] beliebig und i so, dass t&isin [ti,ti+1]. Dann gilt
\mid c(t)-p(t)\mid
=\mid c(t)-c(t_i)+p(t_i)-p(t)\mid wegen (4)
\leq\mid c(t)-c(t_i)\mid +\mid p(t_i)-p(t)\mid Dreiecksungleichung
\leq\mid c(t)-c(t_i)\mid +\mid p(t_i)-p(t_{i+1})\mid
\leq\mid c(t)-c(t_i)\mid +\mid c(t_i)-c(t_{i+1})\mid wegen (4)
wegen (1),(2) und (3)
Gruß
hendrik
Dann definiert man p als den Polygonzug mit
p(t_i)=c(t_i)\ \ \forall
i=0,\ldots,N (4)
Richtigerweise
p(t_i)=c(t_i)\ \ \forall i=0,\ldots,N+1 (4)