Hallo,
Die Frage kurzgefasst:
Ist die Funktion f mit
f(x) = x\ \sin(\frac{1}{x})
gleichmäßig stetig?
Ich würde das ja selbst überprüfen, aber irgendwie klappt das bei mir momentan nicht 
mfg,
Ché Netzer
Es gibt nur stetig und unstetig, ohne „gleichmäßig“.
1.Wenn der Grenzwert von f(x) für x–>Xo vorhanden ist und mit dem Funktionswert f(Xo) übereinstimmt dann ist die Funktion an der Stelle Xo= €D stetig.
2.Ist eine Funktion f an einer Stelle Xo differenzierbar so ist f an der Stelle Xo auch stetig
Gleichmäßige Stetigkeit gibt es auch, außerdem noch einige andere:
http://de.wikipedia.org/wiki/Gleichm%C3%A4%C3%9Fige_…
(Die Stetigkeit der Funktion wäre auch kein Problem gewesen 
)
mfg,
Ché Netzer
Hallo,
Die Frage kurzgefasst:
Ist die Funktion f mit
f(x) = x\ \sin(\frac{1}{x})
gleichmäßig stetig?
Antwort kurz gefasst: Nein
Ah, vielen Dank
Der Professor meinte heute, sie sei es, aber anscheinend hatte ich doch recht 
mfg,
Ché Netzer
Ja,
x*sin(1/x) ist gleichmäßig stetig, Dein Prof weiss, wovon er spricht.
Die Funktion ist stetig, das sollte keine Hürde sein.
Sie ist auf [-1,1] gleichmäßig stetig, da jede stetige Funktion auf jedem kompakten Teil ihres Definitionsbereiches gleichmäßig stetig ist.
Sie ist auf [-oo,-1] und [1,+oo] gleichmäßig stetig, da dort die Ableitung (durch 2) beschränkt ist, und sie also sogar Lipschitzstetig ist.
Die Deltas der Definition der glm Stetigkeit aus den drei Teilen kann man per Minimum zu einem gemeinsamen auf ganz IR gültigen Delta zusammenfassen.
Gruß Lutz
Sie ist auf [-oo,-1] und [1,+oo] gleichmäßig stetig, da dort
die Ableitung (durch 2) beschränkt ist, und sie also sogar
Lipschitzstetig ist.
Genau deswegen hatte ich auch gefragt (Prof. und hier).
Ich hatte nämlich die Hypothese, dass eine differenzierbare Funktion genau dann gleichmäßig stetig ist, wenn ihre Ableitung beschränkt ist.
mfg,
Ché Netzer
Nein,
gleichmäßige Stetigkeit ist wesentlich schwächer als Lipschitzstetigkeit, und das etwas schwächer als differenzierbar mit beschränkter Ableitung. Und vor allem ist nicht jede gleichmäßig stetige Funktion differenzierbar.
Standardbeispiel ist die Wurzelfunktion auf [0,+oo), diese ist gleichmäßig stetig, sogar Hölder-stetig mit Exponent 1/2, aber nicht Lipschitz-stetig, die Ableitung hat einen Pol in 0.
Gruß Lutz
Aber kann man aus beschränkter Ableitung gleichmäßige Stetigkeit folgern?
mfg,
Ché Netzer
Ja sicher,
denn die Schranke der Ableitung ist auch eine Lipschitz-Konstante L (was auch in mehrdimensionalen Situationen richtig ist). Und Lipschitz-stetige Funktionen sind gleichmäßig stetig, da man z.B. delta=eps/(1+L) wählen kann.
Gruß Lutz