Gleichsetzen von Exponentialfunktionen

Wissenschaft Mathematik
1

Hey Leute ich bin’s wieder^^

Ich habe 2 Exponentialfunktionen gleichgesetzt und folgendes ausgerechnet, bin mir aber nicht sicher, ob das richtig ist, wobei ich eher glaube, dass es falsch ist.^^

f2= -3*1,4^(x+2)
f3= -1,8*2,1^(x-1)

-3*1,4^(x+2)=-1,8^(x-1) | potenzieren mit 2

(-3)² * (1,4²)^(x+2) = (-1,8²)^(x-1) |lg

lg(9*1,4^(2x+4)) = lg(3,24*2,1^(2x-2))|ausklammern+3.logarithmusgesetz

lg9 +(2x+4)lg1,4 = lg3,24+(2x-2)lg2,1 |ausklammern

lg9+2xlg1,4 +4lg1,4 =lg3,24 + 2xlg2,1 -2lg2,1 |+2lg2,1 |-lg3,24

lg9+ 2xlg1,4+ 4lg1,4+ 2lg2,1- lg3,24= 2xlg2,1 |-2xlg1,4

lg9+ 4lg1,4+ 2lg2,1 -lg3,24 =2xlg2,1 - 2xlg1,4 |/2

(lg9+ 4lg1,4+ 2lg2,1- lg3,24)/2 = xlg2,1 - xlg1,4

(lg9+ 4lg1,4+ 2lg2,1- lg3,24)/2 = xlg(2,1/1,4) | lg(2,1/1,4)

(lg9+ 4lg1,4+ 2lg2,1- lg3,24)/(2*lg(2,1/1,4)=x=0,55754921

Beim Einsetzen in die Gleichungen kommen andere Ergebnisse raus also entweder diese funktionen haben keinen Schnittpunkt oder ich habe etwas falsch gemacht.^^

Wäre nett, wenn mich jemand über meinen Fehler aufklären würde :smile:

Vielen Dank im Voraus :wink:

LG Mosalol

2

Hallo,

-3*1,4^(x+2)=-1,8^(x-1) | potenzieren mit 2

was ist das für ein Trick? (Und pass auf: Potenzieren mit 2 ist keine Äquivalenzumformung; möglicherweise bekommst du zusätzliche Lösungen.)

Bis zur letzten Zeile stimmt alles weitere:

(lg9+ 4lg1,4+ 2lg2,1- lg3,24)/(2*lg(2,1/1,4)=x=0,55754921

Wenn ich den Term links ausrechne, komme ich auf ca. 4,749. Das passt zu dem Bild, das herauskommt, wenn man sich beide Graphen einmal hinzeichnet.

Andreas

3

Ahh okay danke hab 'n Fehler beim eintippen gemacht habe 2,1 / 1,4 ist ja 1,5 und das mal 2 genommen und hatte 3 und habe es durch 3 geteilt und nicht durch den doppelten logarithmus von 1,5^^

Aber was ist mit dem potenzieren mit 2?
Um zu logarithmieren muss ich beide Seiten erstmal positiv machen, da die logarithmen aus negativen Zahlen nicht definiert sind und die einzige Möglichkeit dies zu schaffen ist doch mit 2 zu potenzieren oder nicht?
Was hätte ich denn anders machen können?

4

Hallo,

die logarithmen aus negativen Zahlen nicht
definiert sind

richtig.

Was hätte ich denn anders machen können?

Ich hätte beide Seite mit -1 multipliziert. :smile:

Andreas

5

Hi,

hmm dachte ich auch dran aber dann wäre es doch:
3*(-1,4^(x+2))=1,8*(-2,1^(x-1))

oder nicht? hmm

6

Hallo,

3*(-1,4^(x+2))=1,8*(-2,1^(x-1))

oder nicht? hmm

Oder nicht! Einfach das Minuszeichen auf beiden Seiten streichen:

3*1,4^(x+2) = 1,8*2,1^(x-1)

Andreas

7

hmm sry das ich so dumm frage^^
aber wieso werden nur diese vorzeichen geändert denn 1,4 ist ja +1,4 und da das vorzeichen ändern ist -1,4 :S

8

Hallo,

aber wieso werden nur diese vorzeichen geändert denn 1,4 ist
ja +1,4 und da das vorzeichen ändern ist -1,4 :S

wenn du ein Produkt hast und dieses mit einer Zahl multiplizierst, dann verteilt sich doch die Zahl nicht auf jeden Faktor (es gibt kein derartiges Distributivgesetz), sondern normalerweise suchst du dir einen davon aus, mit dem du besonders gut zusammenfassen kannst.

(-1) * a * b * c = (-a) * b * c = a * (-b) * c = a * b * (-c)

Andreas

9

Ahh okay vielen Dank Andreas :wink:

10

Hallo,

ich würde es einfach so rechnen:

A a^{x+2} = B b^{x-1}

(Die beiden Minuszeichen in Deiner ursprünglichen Gleichung seien bereits in A und B absorbiert.)

\Leftrightarrow\quad
A a^x a^2 = B b^x b^{-1}

\Leftrightarrow\quad
\frac{A}{B} a^2 b = \Big(\frac{b}{a}\Big)^x

\Leftrightarrow\quad
\ln\Big(\frac{A}{B} a^2 b\Big) = x \ln\frac{b}{a}

\Leftrightarrow\quad
x = \frac{\ln\big(\frac{A}{B} a^2 b\big)}{\ln\frac{b}{a}}

Jetzt kannst Du am Rechte-Seite-Term ablesen, unter welchen Bedingungen es eine Lösung gibt: A/B a2 b muss > 0 sein und b/a muss > 0 sein, und außerdem müssen a und b voneinander verschieden sein (warum?).

Insbesondere siehst Du, dass der Fall A 2 b > 0 ist.

Wenn Du Deine Zahlenwerte einsetzt kommst Du auf x ≈ 5.262.

Aber was ist mit dem potenzieren mit 2?

Das ist Unsinn.

Gruß
Martin

11

Sooo… Hi Martin^^

deine Erklärung ist ein bisschen hmm sehr speziell deswegen musste ich mich noch z.b. über ln informieren^^ deswegen die späte Antwort.

Ich hätte trotzdem noch einige Fragen:

Wieso hast du ln (logarithmus zur basis e) genommen und nicht lg (logarithmus zur basis 10) ? Hab es mal im Taschenrechner eingetippt und da kam das selbe raus.

Haben Andreas(:wink:) und ich für x=4,749378931 und deswegen habe ich es auch nochmal in deine Gleichung eingesetzt und auch 4,749378931 raus…also entweder ich habe was falsch eingetippt (da ich diese Formel noch nicht kannte) oder du hast eventuell eine falsche Zahl eingesetzt oder?

Wieso ist potenzieren mit 2 Unsinn? Letzendlich habe ich (wenn ich das richtig im taschenrechner eingegeben hätte^^) das selbe raus wie Andreas mit seiner Idee mit |*(-1) und deinem Vorschlag mit dieser „speziellen“ Gleichung. Kann es sein das es hier nur Glück war das es funktioniert hat, weil bestimmte Vorraussetzungen, um mit 2 potenzieren zu können ohne das Ergebnis zu verändern, in dieser Gleichung erfüllt werden, damit das trotzdem richtig ist oder wie?

Sorry für die Fragen aber sind mir halt aufgefallen und bringen ein ? in meinen Kopf deswegen frage ich lieber^^

Vielen Dank im Voraus

LG Mosalol

12

Hallo Mosalol,

Wieso hast du ln (logarithmus zur basis e) genommen und nicht
lg (logarithmus zur basis 10) ? Hab es mal im Taschenrechner
eingetippt und da kam das selbe raus.

ja, das Spielchen funktioniert mit jedem Logarithmus, wobei „jedem“ bedeutet, dass die Basis beliebig sein kann. Es geht also gleich gut mit ln oder lg oder log99. Ich bevorzuge den natürlichen Logarithmus ln, weil er in mancher Hinsicht von allen Logarithmen der „einfachste“ ist (z. B. Ableitung: ln’ = 1/x. Bei allen anderen Logarithmen taucht auf der rechten Seite noch ein häßlicher Vorfaktor auf).

Haben Andreas(:wink:) und ich für x=4,749378931

Stimmt. Ich hab unaufmerksamerweise die 2.1 zur 2 verstümmelt. Mein Fehler – Entschuldigung.

Wieso ist potenzieren mit 2 Unsinn?

Es hat keinen Nutzen. Bei bestimmten Gleichungen kommt man um das Quadrieren nicht herum, aber hier ist es – siehe meine Lösung – einfach überflüssig. Andererseits ist das Quadrieren gewissermaßen eine „riskante Operation“, weil es, wie Andreas schon sagte, keine Äquivalenzumformung ist. Man erzeugt dadurch i. a. Lösungsmengen, die „zu groß“ sind, d. h. die trotz richtigen Rechnens am Schluss Elemente enthalten, die keine Lösungen der Ursprungsgleichung sind. Man muss dann immer alle Lösungen nochmal gesondert checken. Deshalb sollte man quadrieren vermeiden, solange es nicht nötig ist. (Wenn Du Lust hast versuch Dich z. B. mal an √(31 + 5x) = 7 – x. Wie lautet die korrekte Lösungsmenge?)

…das selbe raus wie Andreas mit seiner Idee mit |*(-1) und deinem
Vorschlag mit dieser „speziellen“ Gleichung. Kann es sein das
es hier nur Glück war das es funktioniert hat, weil bestimmte
Vorraussetzungen, um mit 2 potenzieren zu können ohne das
Ergebnis zu verändern, in dieser Gleichung erfüllt werden,
damit das trotzdem richtig ist oder wie?

Ohne mir Deine Rechnung im Detail angesehen zu haben vermute ich, Du machst das Quadrieren in irgendeinem Schritt implizit und eventuell von Dir unbemerkt wieder rückgängig. Dann kannst Du es aber genausogut gleich weglassen.

Fragen ist immer gut! Dafür ist das Forum ja da, und der Thread hält sich ja auch noch im Rahmen.

Gruß
Martin

PS: Meine Gleichung ist nicht speziell sondern das Gegenteil davon: Sie ist allgemein :wink: Salopp gesagt: Die Schwierigkeit so einer Gleichung wird nicht durch die Zahlenwerte bestimmt:diamonds:, sondern durch die mathematische Struktur der Gleichung. Deshalb habe ich in Deiner Gleichung die Zahlenwerte durch Buchstaben ersetzt. Die Struktur blieb dadurch nicht nur erhalten, sondern trat deutlicher hervor. Außerdem braucht z. B. ein „a“ weniger Platz und schreibt sich ca. dreimal schneller als „1.4“. Wie Du siehst, haben allgemeine Gleichungen nur Vorteile :smile:

:diamonds:Manchmal aber doch: x4 – x = 1 ist z. B. erheblich schwieriger zu lösen als x2 – x = 1.

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Hey Martin,
vielen Dank für deine Antworten…jetzt ist alles klar danke :wink: