Hallo,
ich hier folgende Gleichung vor mir:
= 1/N summe j=1 bis N von
Dann wird r_CM (Schwerpunktsvektor) = 1/N summe über i=1 bis N von r_i eingesetzt und umgeformt kommt folgendes raus:
= 1/(2*N^2) summe j,k=1 bis N von
Ich versteht einfach nicht wie mensch diese Umformung machen kann, 6-7 Stunden des Bastels habe ich schon hinter mir, vielleicht kann mir ja jemand den entscheidenden Hinweis geben, den ich bisher völlig übersehen habe.
Die Gleichung beschreibt den Erwartungswert eines Träheitsradius eines Polymers (Masse überall gleich), wer’s direkt und hübsch haben will:
http://owl.ethz.ch/d-werk/oettinger/polymere2/polphy…
Seite 5 von 16, Gleichungen 2.11, 2.12 und 2.13
MfG
Max
Hallo Max,
für den Summenterm in (2.11) das Quadrat ausmultiplizieren
und spitze Klammern auseinandernehmen:
Summieren über j ergibt also
( \sum ) - 2N + N
Der mittlere Term ergibt sich aus (2.12), der Faktor N im letzten
Term kommt von Nfacher Summation über eine Konstante.
Es ist also
= 1/N ( \sum ) -
Das Problem ist, das Quadrat von r_CM zu bekommen, gell?
Aus (2.12) ergibt sich:
= 1/N^2
Man schreibt jetzt, ohne eigentlich zu rechnen:
= 1/N^2
Damit ist oben
= 1/N ( \sum ) - 1/N^2
Damit’s symmetrisch in j,k wird, bauen wir
\sum = 1/2 ( \sum + \sum )
und haben
= 1/(2N) ( \sum ) - 1/N^2
Ausklammern von 1/(2N^2), die spitzen Klammern ganz nach außen
(EW sind ja linear)
= 1/(2N^2)
( )
Ist Dir aufgefallen, daß in (2.13) eine Doppelsumme steht?
Schreibe die scheinbar überflüssigen N wie
N = \sum_j 1 = \sum_k 1
und es ist
= 1/(2N^2)
( )
und damit
= 1/(2N^2)
( )
der letzte Schritt ist die Binomialformel
Evtl. klarmachen, daß
\sum_j \sum_k r_j s_k
und
(\sum_j r_j) (\sum_k s_k )
dasselbe Ergebnis liefern.
Stefan
Hallo Stefan,
erst einmal vielen Dank, ich werd mir das jetzt erst einmal alles abschreiben und dann (hoffentlich) verstehen.
Gruß
Max