Sehr geehrte Experten,
Ich beschäftige mich hobbymäßig mit Mathe und Physik und möchte mich mit folgendem Problem an Euch wenden:
Ich habe die Gleichung einer Ebene in Koordinatenschreibweise aus der Parameterform erhalten. In dieser Ebene sind zwei Punkte gegeben, durch die eine Gerade verläuft. Diese Gerade markiert die Schnittlinie der Ausgangsebene mit einer unbekannten Ebene, welche die Ausgangsebene unter einem vorgegebenen Winkel alpha längs der Geraden schneidet. Gesucht ist die Gleichung der unbekannten Ebene.
Ich habe einen Ansatz mit dem Skalarprodukt gemacht. Da komme ich auf eine quadratische Gleichung, die keine Lösung in R hat.
Für Eure Hilfe bin ich sehr dankbar
Gruß
Ewald
hi,
du brauchst von der neuen ebene 2 richtungsvektoren (einen hast du: den richtungsvektor der schnittgeraden r = (r1, r2, r3))
als 2. richtungsvektor würd ich einen berechnen, der (a) auf diesen ersten normal steht und (b) mit dem normalvektor der ersten ebene den winkel phi = (90° - schnittwinkel) einschließt.
das liefert 2 lineare gleichungen für die 3 unbekannten koordinaten dieses richtungsvektors (jeweils, wie von dir richtig angewendet, über das skalaprodukt). das ist lösbar bis auf die länge dieses vektors, aber die ist ja egal.
mit diesem 2. richtungsvektor bekommst du dann über kreuzprodukt (vektorielles produkt) den normalvektor der „schnittebene“.
hth
m.
Hallo,
Vielen Dank für den Ansatz mit den beiden Richtungsvektoren! Ich habe jedoch noch ein paar Einwände bzw. Anmerkungen zu Deinem Lösungsvorschlag.
du brauchst von der neuen ebene 2 richtungsvektoren (einen
hast du: den richtungsvektor der schnittgeraden r = (r1, r2,
r3))
als 2. richtungsvektor würd ich einen berechnen, der (a) auf
diesen ersten normal steht und (b) mit dem normalvektor der
ersten ebene den winkel phi = (90° - schnittwinkel)
einschließt.
das liefert 2 lineare gleichungen für die 3 unbekannten
koordinaten dieses richtungsvektors (jeweils, wie von dir
richtig angewendet, über das skalaprodukt). das ist lösbar bis
auf die länge dieses vektors, aber die ist ja egal.
Zwei Gleichungen mit drei Unbekannten sind in der Regel nicht eindeutig lösbar und
beim Ansatz über das Skalarprodukt steht im Nenner u.a. die Quadratwurzel der Summe der Komponentenquadrate des zweiten (unbekannten) Richtungsvektors. Das Gleichungssystem ist somit keinesfalls linear.
Ich habe mir damit geholfen, daß ich den ersten unbekannten Richtungsvektor x1 gleich der bekannten Größe r1 gesetzt habe, bzw. in der zweiten Gleichung x1 durch die bekannte x-Komponente des Normalenvektors der Ausgangsebene ausgedrükt habe. So konnte ich x1 als Unbekannte eliminieren und x3 durch x2 ausdrücken. Ich habe dann eine quadratische Gleichung mit x2 erhalten und mit deren Lösungen x3 berechnet. Die Proben (Skalarprodukte) bestätigten bisher die Richtigkeit der Vorgehensweise. Ich werde jedoch noch weiter basteln, da mir die Ausgangsüberlegung (Entfernung von x1) selbst nicht ganz geheuer ist.
Gruß
Ewald
hi,
das liefert 2 lineare gleichungen für die 3 unbekannten
koordinaten dieses richtungsvektors (jeweils, wie von dir
richtig angewendet, über das skalaprodukt). das ist lösbar bis
auf die länge dieses vektors, aber die ist ja egal.
Zwei Gleichungen mit drei Unbekannten sind in der Regel nicht
eindeutig lösbar und
is mir schon klar; ich hab auch geschrieben „lösbar bis auf die länge“.
du kriegst auf die art und weise nicht „DEN“ 2. vektor, sondern nur seine richtung und kannst seine länge durch einsetzen eines parameters bestimmen.
du kannst als dritte gleichung (die ist dann nicht mehr linear) die gleichung
x^2+y^2+z^2 = 1
verwenden.
beim Ansatz über das Skalarprodukt steht im Nenner u.a. die
Quadratwurzel der Summe der Komponentenquadrate des zweiten
(unbekannten) Richtungsvektors. Das Gleichungssystem ist somit
keinesfalls linear.
Ich habe mir damit geholfen, daß ich den ersten unbekannten
Richtungsvektor x1 gleich der bekannten Größe r1 gesetzt habe,
???
bzw. in der zweiten Gleichung x1 durch die bekannte
x-Komponente des Normalenvektors der Ausgangsebene ausgedrükt
habe. So konnte ich x1 als Unbekannte eliminieren und x3 durch
x2 ausdrücken. Ich habe dann eine quadratische Gleichung mit
x2 erhalten und mit deren Lösungen x3 berechnet. Die Proben
(Skalarprodukte) bestätigten bisher die Richtigkeit der
Vorgehensweise. Ich werde jedoch noch weiter basteln, da mir
die Ausgangsüberlegung (Entfernung von x1) selbst nicht ganz
geheuer ist.
wenns passt, dann passts.
m.
hallo,
Du hast geschrieben: :lösbar bis
auf die länge dieses vektors, aber die ist ja egal.
Das ist sie nicht
nohmals vielen Dank
Ewald
hallo ewald,
ich will mit dir nicht streiten, aber …
Du hast geschrieben: :lösbar bis
auf die länge dieses vektors, aber die ist ja egal.
Das ist sie nicht
doch.
du brauchst für die schnittebene einen 2. richtungsvektor. dessen länge ist egal. bei richtungsvektoren geht es (meist) nur um die richtung.
du brauchst KEINE lösung, die einen eindeutigen vektor liefert. es reicht die richtung.
m.