Ich habe zur Zeit das Thema Funktionen im Unterricht. Und die Aufgaben sind recht schwer! Die Lösungen wurden uns zum vergleichen gegeben, aber ich komme nicht aufs Ergebnis mir fehlen die Ansätzte. Vielleicht kann mir ja jemand helfen.
Aufgabe:
Bestimme die Gleichung der Tangente t im Punkt P(u/?) des Schaubildes von f. Bestimme zur Geraden g den Schnittpunkt Q mit der Tangente. Untersuche, ob es von Q aus weitere Tangenten an das Schaubild von f gibt, und gib ggf. ihre Gleichungen an.
f(x)=3+x²; u=1; g:y=x
t → y=mx+n
4=m*1+n …zu m umstellen
m=(4-n)/1 …m in die Formel einsetzten
4=((4-n)/1)+n …zu n umstellen
n=0?!
wenn ja, dann
4=m*1 …durch 1
m=4
dir Formel der Tangente müsste ja jetzt y=4x heißen… richitg? Und wie geht’s weiter, man müsste doch die Gleichungen gleich setzten oder… aber da bekomme ich nichts raus!
Tach Videl,
Du hast gegen ein Grundgesetz der Mathe verstoßen: JEDE Unbekannte braucht EINE Gleichung.
Deine gesuchte Tangente heißt
y=mx+n, m und n sind unbekannt.
Du weißt aber nur einen Punkt von der Tangente:
4=m+n
Fertig… weiter geht nicht. Für 2 Unbekannte benötigst Du aber 2 Infos (Punkt/Punkt bzw. Punkt/Steigung)
Entweder suchst Du Dir noch einen Punkt, oder findest die Steigung heraus. Steigung von einer Tangente = Erste Ableitung
Nachtrag:
Kennst Du die Tangentengleichung?
y=f’(u)*(x-u)+f(u)
(x,y) ist der Punkt, von dem aus die Tangente am Punkt (u,f(u)) anliegen soll, also hier x=-2, y=-2.
Dann nach u auflösen (pq bzw. Mitternachtsformel) und es kommen zwei lösungen raus
u1=1 (kennen wir schon)
u2=-5(neu)
Ich habe zur Zeit das Thema Funktionen im Unterricht. Und die
Aufgaben sind recht schwer! Die Lösungen wurden uns zum
vergleichen gegeben, aber ich komme nicht aufs Ergebnis mir
fehlen die Ansätzte. Vielleicht kann mir ja jemand helfen.
Aufgabe:
Bestimme die Gleichung der Tangente t im Punkt P(u/?) des
Schaubildes von f. Bestimme zur Geraden g den Schnittpunkt Q
mit der Tangente. Untersuche, ob es von Q aus weitere
Tangenten an das Schaubild von f gibt, und gib ggf. ihre
Gleichungen an.
f(x)=3+x²; u=1; g:y=x
Du setzt m=4. Warum?
Du weißt, dass die Gerade am Punkt P(1/4) berührt. Die Steigung der Geraden muss hier mit der Steigung der Parabel übereinstimmen. Die Steigung der Parabel beträgt:
f’(x) = 2x
f’(1) = 2
Also: m=2
=> n=2
t(x) = 2x + 2
Der Schnittpunkt mit g:
2x+2 = x
x = -2
=> g(x) = -2
=> Q(-2/-2)
Und wie geht’s weiter, man müsste doch die
Gleichungen gleich setzten oder… aber da bekomme ich nichts
raus!
Nun musst Du Dir überlegen, welche Geraden durch (-2/-2) gehen, bzw. welche Gleichungen die haben. Es sind Geraden der Steigung m2, die um 2 nach links und 2 nach unten verschoben sind:
t2: y+2 = m2 * (x+2)
=> t2: y = m2 * x + (2*m2 - 2)
Nun gibt es zwei Bedingungen für das Berühren:
Die Parabel und die Gerade müssen einen gemeinsamen Punkt haben:
t2(x) = f(x) (1)
Die Steigung beider muss in dem Punkt übereinstimmen:
f’(x) = m2 (2)
Aus (2) folgt: x=m2/2. Das setzt Du in (1) ein und bekommst eine quadratische Gleichung, die für m2 zwei Lösungen haben sollte. Eine davon ist m1=2 aus dem ersten Aufgabenteil. Die andere ist die gesuchte Lösung.
x ist doch aber gleich u, oder nicht!? und die Formel heiß
doch auch y=mx+n und x wäre ja dann 1, weil u=1…
Nein, in der Tangentengleichung steht der Punkt (x,y) für einen BELIEBIGEN Punkt auf der Tangente (ähnlich wie in y=mx+b) und der Punkt (u,f(u)) ist der BERÜHRPUNKT mit der Funktion f an der Stelle u.
Das mit der ersten Ableitung verstehe ich…
f(x)=3+x²
f’(x)=2x
oder muss ich jetzt in dies Formel u, also x, also 1
einsetzen?
Um die erste Tangentengleichung (y=2x+2) zu finden, brauchst Du einmal den Berührpunkt (1,4) hast Du ja schon. Und zum anderen die Steigung m=f’(1)=2.
Für die weiteren Tangentenberechnungen gilt:
In diesem Fall kennst Du den BERÜHRpunkt nicht (also u = Unbekannt) wohl aber den BELIEBIGEN Punkt in unserem Fall (-2/-2)
Such Dir am besten mal die dazugehörige Skizze im Netz. Stichwort „Tangentengleichung Mathematik Schule“ oder sowas. Dann siehst Du vllt besser, was ich meine