Hallo Zusammen,
Unser Lehrer hat gesagt wir könnten uns einen Pluspunkt verdienen, wenn wir die unten aufgeführte Kubische Gleichung mit der Cardanischen Formel lösen könnten. Gehört habe ich von dieser Formel noch nichts, wir haben die immer auf eine andere Weise gelöst. Dennoch habe ich mir mal einen Onlineartikel durchgelesen um die gestellte Aufgabe zu Lösen. Naja,so richtig verstanden habe ich das nicht, aber ich habe mich mal daran versucht.
x^3+rx^2+sx+t
x^3+x^2+x+6
r=1
s=1
t=6
p=s-\frac{r^2}{3}=1-\frac{1^2}{3}=\frac{2}{3}
q=\frac{2r^3}{27}-\frac{rs}{3}+t=\frac{2*1^3}{27}-\frac{1*1}{3}+6=\frac{155}{27}\
y=u+v
Leider\ wusste\ ich\ nicht,\ wie\ man\ die\ „3“\ Wurzel\ darstellt.
u=\sqrt{\frac{-q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{2^2}+\frac{p^3}{3^3}}}=\sqrt{\frac{-\frac{155}{27}}{2}+\sqrt{\frac{\frac{155}{27}^2}{2^2}+\frac{\frac{2}{3}^3}{3^3}}}=0,1241…
v=\sqrt{\frac{-q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{2^2}+\frac{p^3}{3^3}}}=\sqrt{\frac{-\frac{155}{27}}{2}-\sqrt{\frac{\frac{155}{27}^2}{2^2}+\frac{\frac{2}{3}^3}{3^3}}}=-1,7908…
y=u+v=0,1241+(-1,7908)=-1,6667
x=y-\frac{r}{3}=-1,6667-\frac{1}{3}=-\frac{60001}{30000}=-2
Ich hoffe das davon wenigstens etwas stimmt^^
Die zweite Aufgabe lautet: x^3-2x^2+\frac{1}{2}
Bei der komme ich allerdings nicht richtig weiter.
Über eine Erläuterung würde ich mich sehr freuen.
mfg Christof
Hallo Christof,
x^3+x^2+x+6
Ich vermute, da soll noch ein =0 stehen, oder?
x^3+x^2+x+6 = 0
x=y-\frac{r}{3}=-1,6667-\frac{1}{3}=-\frac{60001}{30000}=-2
Ich bin zu faul, deine Sachen nachzurechnen, aber x=-2 ist eine Lösung deiner Gleichung. Das sieht man, wenn man die -2 oben einsetzt.
Die zweite Aufgabe lautet:
x^3-2x^2+\frac{1}{2}
Bei der komme ich allerdings nicht richtig weiter.
Wo genau kommst du denn nicht weiter? Das Vorgehen muss ja das gleiche wie oben sein.
Viele Grüße
Kati
Hallo,
Ich hoffe das davon wenigstens etwas stimmt^^
das kannst Du doch leicht selbst überprüfen, indem Du einen Funktionenplotter mit x^3 + x^2 + x + 6 fütterst und Dir den Graph anschaust. Zweierlei wird Dir ins Auge fallen: Eine Nullstelle bei –2 und dass die Funktion offensichtlich überall streng monoton wachsend ist → die erwähnte Nullstelle ist die einzige. Die Frage, ob’s wirklich –2 ist und nicht etwa –1.99991 oder –2.00005, kannst Du durch simples Einsetzen beantworten. Wenn Du dann außerdem noch „überall wachsend“ beweist, indem Du „erste Ableitung überall > 0“ zeigst, hast Du es wasserdicht.
Mit „60001/30000 = –2“ wäre ich allerdings vorsichtig. Ich würde bereits hinter das „-1,6667“ ein „= –5/3“ setzen (vielleicht mit einem Fragezeichen) und dann –5/3 – 1/3 = –6/3 = –2 rechnen. Das Problem, dass die Summe zweier wüster dritter Wurzeln zwar z. B. –5/3 oder 2 ergeben kann, sie sich aber nicht bis dahin vereinfachen lässt, haftet der cardanischen Formel von Haus aus an.
Die zweite Aufgabe lautet: … Bei der komme ich allerdings nicht richtig weiter.
Diese Funktion hat drei reelle Nullstellen. Mussedichdurchquälen.
Gruß
Martin