Gleichung umformen

Wissenschaft Mathematik
#1

Hallo,

ich habe hier einen Widerstand dessen Temperaturverhalten mit der Gleichung

R<small>Temp</small> = R25 \* ( 1 + Alpha\*(Temp-25) + Beta\*(Temp-25)^2 )

bestimmt wird.

wobei folgendes gilt…
RTemp = Widerstand bei der Temperatur Temp
Temp = die aktuelle Temperatur (z.B. 22,93°C)
Alpha = 0,000004
Beta = -0,0000005
R25 = Widerstandswert bei 25°C (z.B. 10,0003257 kOhm)

Die Koeffizienten Alpha und Beta wurden damals vom Hersteller ermittelt. Allerdings war das ganze, wie auch in der Gleichung sichtbar, auf 25°C bezogen. Man kalibrierte die Widerstände bei 25°C. Heutzutage werden die Widerstandswerte nur bei 23°C ermittelt. Deshalb ist die Berechnung des temperaturabhängigen Driftes etwas umständlich. Ist es möglich die obige Gleichung in die folgende Form zu überführen?

R<small>Temp</small> = R23 \* ( 1 + Alpha\*(Temp-23) + Beta\*(Temp-23)^2 )

Eigentlich müsste man nur die Materialkoeffizienten Alpha und Beta neu berechnen. Oder so irgendwie?

Da ich mehrere Widerstände mit unterschiedlichen Koeffizienten habe, währe mir an einer Lösung mit Lösungsweg sehr gelegen. Gerne auch in Excel.

Viele Grüße

Stefan

#2

Hallo,

ich habe hier einen Widerstand dessen Temperaturverhalten mit
der Gleichung

RTemp = R25 * ( 1 + Alpha*(Temp-25) + Beta*(Temp-25)^2 )

Das ist vermutlich RTemp in Abhängigkeit von Temp, oder?

Also:
R(t) = R25*(1+α(t-25)+β(t-25)²)
= R25 (1 + αt - α25 + βt² - 50βt + 625β)
= R25 (βt² + t(α-50β) + (1+25α+625β))
Außerdem
R(t) = R23*…
= R23 (β’t² + t(α’-46β’) + (1+23α’+529β’))

Daraus ergibt sich:
R23β’ = R25β
R23α’-46R23β’ = R25α-50R25β
R23+23R23α’ + 529R23β’ = R25+25R25α’ + 625R25β’

Das löst uns der Computer:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%7BR*B+%3D+r*b%…
Hier kann man für r, a und b jeweils R25, α und β einsetzen.
Mit 0.000004, (-0.0000005) und 10.0003257 (ohne das kilo):
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%7BR*B+%3D+10.0…
R23 = 9,99993
α’ = 0,00000600024
β’ = -0,00000050002
Dan gilt
R = R25*(1+α(t-25)+β(t-25)²) = R23*(1+α’(t-23)+β’(t-23)²).

Ich gebe allerdings keine Garantie darauf…

mfg,
Ché Netzer

#3

Hallo,

Hallo

ich habe hier einen Widerstand dessen Temperaturverhalten mit
der Gleichung

RTemp = R25 * ( 1 + Alpha*(Temp-25) + Beta*(Temp-25)^2 )

bestimmt wird.

Das schreibe ich mal als

R(t)=R_{25}\left(1+\alpha (t-25)+\beta (t-25)^2\right)

Ist es möglich die obige Gleichung
in die folgende Form zu überführen?

RTemp = R23 * ( 1 + Alpha*(Temp-23) + Beta*(Temp-23)^2 )

Das schreibe ich als

R(t)=R_{23}\left(1+\gamma (t-23)+\delta (t-23)^2\right)

Das ganze läuft auf einen Koeffizientenvergleich hinaus, deshalb macht es Sinn die Polynome nach Potenzen von t zu ordnen.

R(t)=R_{25}\beta t^2+R_{25}(\alpha-50\beta)t+R_{25}(625\beta-25\alpha+1)

beziehungsweise

R(t)=R_{23}\delta t^2+R_{23}(\gamma-46\delta)t+R_{23}(529\delta-23\gamma+1)

Koeffizientenvergleich ergibt jetzt das nichtlineare Gleichungssystem

R_{23}\delta=R_{25}\beta
R_{23}(\gamma-46\delta)=R_{25}(\alpha-50\beta)
R_{23}(529\delta-23\gamma+1)=R_{25}(625\beta-25\alpha+1)

Das einfachste ist wahrscheinlich, zuerst mit Hilfe der alten Koeffizienten R23 zu ermitteln, also

R_{23}=R_{25}\left(1+\alpha(23-25)+\beta(23-25)^2\right)=R_{25}\left(1-2\alpha+4\beta\right)

Dann kannst du

\delta=\frac{R_{25}}{R_{23}}\beta

berechnen und damit dann auch delta.

Gruß

hendrik

#4

Hallo,

R(t) = R25*(1+α(t-25)+β(t-25)²)
= R25 (1 + αt - α25 + βt² - 50βt + 625β)
= R25 (βt² + t(α-50β) + (1+25α+625β))
Außerdem
R(t) = R23*…
= R23 (β’t² + t(α’-46β’) + (1+23α’+529β’))

wie bist du denn von - alpha*25 bzw. - alpha´*23 auf

  • alpha*25 bzw. + alpha´*23 gekommen?

Gruß
Pontius

#5

wie bist du denn von - alpha*25 bzw. - alpha´*23 auf

  • alpha*25 bzw. + alpha´*23 gekommen?

Indem ich das Minus einfach ignoriere :wink:
Naja, ich habe ja für nichts garantiert… :smile:
Hier nochmal mit Minus:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%7BR*B+%3D+r*b%…
Diesmal dürfte es stimmen…

mfg,
Ché Netzer

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#6

Hallo,

auch wenn ich es jetzt nicht so ganz nachvollziehen kann, es funktioniert gut.

Hier nochmal mit Minus:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%7BR*B+%3D+r*b%…
Diesmal dürfte es stimmen…

Dafür ein großes Danke.

Grüße

Stefan