Gleichung x^2 + b = 0 nach x auflösen

Wissenschaft Mathematik
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Hallo zusammen

Ich bin mir nicht ganz sicher bei der Auflösung einer Gleichung nach x. Diese lautet nach gleichsetzen mit 0:

x^2 + b = 0

danach habe ich gemacht

x^2 = -b

x = sqrt(-b)

b kann ja nie positiv sein, damit die Gleichung x^2 + b = 0 ergibt, da x^2 immer positiv ist, muss b immer negativ sein oder sehe ich das falsch?

Nun sind aber doch negative Wurzeln nicht erlaubt oder?

Müsste es dann richtig heissen:

x = -(sqrt(b)) das hätte ja den selben Effekt wäre aber wahrscheinlich korrekter oder?

x = +/-(sqrt(b)) muss ich ja nicht schreiben, da es nie + sein kann oder??

Bin etwas verwirrt und im Zweifel und hoffe auf Eure kompetente Hilfe.

Tanks schon im Voraus
Brian

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Ich bin mir nicht ganz sicher bei der Auflösung einer
Gleichung nach x. Diese lautet nach gleichsetzen mit 0:

x^2 + b = 0

danach habe ich gemacht

x^2 = -b

x = sqrt(-b)

Richtig.

b kann ja nie positiv sein, damit die Gleichung x^2 + b = 0
ergibt, da x^2 immer positiv ist, muss b immer negativ sein
oder sehe ich das falsch?

Nun, b kann natürlich positiv sein. Dann hat die Gleichung eben keine Lösung in den Reellen Zahlen.

Nun sind aber doch negative Wurzeln nicht erlaubt oder?

Zumindest nicht in den Reellen Zahlen. Deshalb gäbe es bei positivem b ja auch keine Lösung.

Müsste es dann richtig heissen:

x = -(sqrt(b)) das hätte ja den selben Effekt wäre aber
wahrscheinlich korrekter oder?

Nein, das wäre falsch. Stell dir vor b sei -4.
Dann stünde ja da:
x² - 4 = 0
Das hat offensichtlich eine Lösung, nämlich x = +/- 2

Wenn man aber nun b und x einsetzen würde in dein…

x = -(sqrt(b))

…dann würde man erhalten.

+/-2 = -(sqrt(-4))
Die Wurzel von -4 ist aber nicht definiert, damit kann das ja nicht stimmen.

Das richtige hast du ja im Prinzip eh schon fast dastehen. Oben schreibst du richtig:

x = sqrt(-b)

Wenn b positiv ist, dann hat die Gleichung keine Lösung, da die Wurzel nicht definiert ist.

Wenn b negativ ist, ist -b ja positiv. Somit ist die Wurzel definiert und du hast eine Lösung.

Stell dir vor b ist wieder -4. Dann steht da
x² + (-4) = 0
=> x² = - (-4)
=> |x| = sqrt(-(-4))
=> |x| = sqrt(+4)
=> |x| = 2
=> x = +/- 2

Und wenn du das einsetzt in die ursprüngliche Gleichung hast du ja:
2² + (-4) = 0
=> 4 - 4 = 0

bzw

(-2)² + (-4) = 0
=> 4 - 4 = 0

Und das stimmt ja offenbar.

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Hallo danke für deine Nachricht.

Wäre es dann aber auch richtig bei dieser Gleichung zu schreiben:

x^2 = -b
x = sqrt(-b) und
x = sqrt(b) ??

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Meiner Meinung nach nicht. Du musst eine Fallunterscheidung machen. Wenn b positiv dann… und wenn b negativ dann…

[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]

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Hallo danke für deine Nachricht.

Wäre es dann aber auch richtig bei dieser Gleichung zu
schreiben:

x^2 = -b
x = sqrt(-b) und

richtig

x = sqrt(b) ??

falsch

aber auch richtig:
x = -sqrt(-b)

Allgemein gilt für die Lösung einer Gleichung

x^2 = a \qquad\Longrightarrow\qquad x_{1,2} = \pm \sqrt{a}

und folglich in Deinem Beispiel mit a = -b

x^2 = -b \qquad\Longrightarrow\qquad x_{1,2} = \pm \sqrt{-b}

wobei natürlich für b>0 keine (reellen) Lösungen der Gleichung existieren.

Gruß,
Ingo

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Hallo Brian,

ich glaube, was Dich im Moment am meisten verwirrt, ist, dass
\sqrt{-b}\ne-\sqrt{b}
gilt. Damit sind (in den reellen Zahlen) \sqrt{-b} und \sqrt{b} niemals beide gleichzeitig definiert.

Nimm z.B. b=4. Dann ist \sqrt{b}=\sqrt{4}=2, und \sqrt{-b}=\sqrt{-4} ist nicht definiert, während natürlich -\sqrt{4}=-2 wunderbar definiert ist.

Jetzt sei b=-4. Dann ist -b=4, und während nun \sqrt{b}=\sqrt{-4} nicht definiert ist, hast Du eine Lösung für \sqrt{-b}=\sqrt{4}=2. Auch hier kannst Du natürlich vor den ganzen Ausdruck das Minus schreiben und bekommst -\sqrt{-b}=-2.

Die Lösungen Deiner Gleichung x^2+b=0 sind also x_1=\sqrt{-b} und x_2=-\sqrt{-b}.

Liebe Grüße
Immo

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Danke dir jetzt habe ich es glaube ich begriffen.

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Danke Dir auch… jetzt ist glaube ich auch bei mir der Euro richtig gefallen…