Gleichungen 3. Grades

Wissenschaft Mathematik
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Hallo liebe Experten!

Ich hab heute in der Schule eine Aufgabe bekommen. f(x)= x^3+2x^2+2x-1

Unser Lehrer hat uns lediglich gesagt was eine Kubische Gleichung ist, jedoch nicht wie man sie löst. Nicht das man mich falsch versteht, ich will hier keine Lösung sondern nur wissen ob ich auf dem richtigen Weg bin oder nicht. Also so hab ich mir das vorgestellt (ich zweifele aber momentan daran):

man klammert x aus: 0=x*(x^2+2x+2)-1

Nun habe ich in der Mitte eine quadratische Gleichung stehen, welche ich jetzt mittels (-b +/- Wurzel aus(b^2 - 4ac)) / 2a löse.

Es kommt für x1 = 0 und für x2 = 1 raus.

Nun setze ich ein: f(0) = x*0-1 dann f(0) = -1
und f(0) = x*1-1 dann f(0) = -1

Aber es muss doch mehrere Nullstellen geben?

Ich zerschlag mir grad den Kopf darüber und nachschauen will ich ned, sonst machts ja keinen Spass^^

Vielen Dank im Voraus

Aqib

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hi,

Ich hab heute in der Schule eine Aufgabe bekommen. f(x)=
x^3+2x^2+2x-1

das ist (noch) keine aufgabe, sondern lediglich ein funktionsterm. eine aufgabe wäre z.b.:
x^3+2x^2+2x-1 = 0

Unser Lehrer hat uns lediglich gesagt was eine Kubische
Gleichung ist, jedoch nicht wie man sie löst. Nicht das man
mich falsch versteht, ich will hier keine Lösung sondern nur
wissen ob ich auf dem richtigen Weg bin oder nicht. Also so
hab ich mir das vorgestellt (ich zweifele aber momentan
daran):

man klammert x aus: 0=x*(x^2+2x+2)-1

Nun habe ich in der Mitte eine quadratische Gleichung stehen,
welche ich jetzt mittels (-b +/- Wurzel aus(b^2 - 4ac)) / 2a
löse.

dann bekommst du heraus, wann
x^2+2x+2 = 0

was hat das mit der ursprünglichen gleichung zu tun? praktisch nix.

Es kommt für x1 = 0 und für x2 = 1 raus.

Nun setze ich ein: f(0) = x*0-1 dann f(0) = -1
und f(0) = x*1-1 dann f(0) = -1

und was sagt dir das?
es geht darum, wann f(x) = 0
f(0) ist dazu nur mäßig interessant.

Aber es muss doch mehrere Nullstellen geben?

Ich zerschlag mir grad den Kopf darüber und nachschauen will
ich ned, sonst machts ja keinen Spass^^

warum stellst du dann hier eine frage? das ist doch „nachschauen bei w-w-w“.

im ernst: es gibt ein lösungsverfahren für kubische gleichungen. das verfahren ist so kompliziert, dass es im gymnasium normalerweise nicht behandelt wird. das verfahren erfordert auch kenntnisse über sog. „komplexe zahlen“.
du wirst i.a. mit näherungsverfahren und in bestimmten fällen mit „tricks“ zu lösungen kommen. jedenfalls hat eine kubische gleichung mindestens eine reelle lösung und kann bis zu 3 reelle lösungen haben. du wirst das kapieren, wenn du funktionen 3. grades „diskutierst“ in der differenzialrechnung.

wenn dich die nummerischen lösungen für gleichungen 3. und 4. grades interessieren, hilft dir z.b. die web-site
http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/polynome.htm
weiter.

ab grad 5 gibt es kein allgemeines lösungsverfahren mehr. nicht nur derzeit, sondern es kann kein allgemeines lösungsverfahren geben. bewiesen von evariste galois bzw. niels abel.

m.

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Auch hallo

Unser Lehrer hat uns lediglich gesagt was eine Kubische
Gleichung ist, jedoch nicht wie man sie löst.

Eine Option wären die Cardanischen Formeln: http://de.wikipedia.org/wiki/Cardanische_Formeln
Alternativ rät man eine Nullstelle und greift zur Faktorabspaltung:
(x^3 +2x^2 +2x -1) : (x - ‚geratene Nullstelle‘) = Polynom zweiten Grades, für welches die p-q-Formel verwendet werden kann.

mfg M.L.

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Hey Aqib,

also wie schon gesagt, handelt es sich bei

f(x)= x^3+2x^2+2x-1

um keine Aufgabe, sondern eine Funktion.

Aus deinem nächsten Schritt ziehe ich, dass dich die Nullstellen dieser Funktion interessieren: f(x)= 0.

Im Gymnasium werden solche Gleichungen mit der Polynom-Division gelöst.
Des geht im Prinzip so, dass man sich vor Augen hält, dass man einen Term auflösen kann nach
(x - Nullstelle)*(x - Nullstelle)*…*(x - Nullstelle)
Klar ist, dass man nicht mehr Klammern bekommen kann, als der Grad des Term war. Du hast jetzt eine Funktion 3. Grades, also kannst du deine Funktion so umwandeln, dass sie aus 3 Klammern besteht.
Einfaches Beispiel:
f(x) = x² - 1
Diese Funktion ist 2. Grades und hat seine Nullstellen bei 1 und -1. Also kann man die Funktion auch so schreiben: f(x) = (x-1) * (x+1)

Zurück zu deiner Aufgabe.
Da es nicht so etwas wie die Mitternachtsformel für Funktionen 3. Grades gibt, muss man erst eine Nullstelle erraten.
Da die Aufgaben im Gymnasium nicht so schwierig gemacht werden, hab ich mir immer die Zahl ohne Variable angeschaut und hab die Teiler dieser Zahl als Lösung ausprobiert. Im Gymnasium hats immer geklappt :wink: Bei deiner Aufgabe kommen aber kompliziertere Zahlen raus…deswegen ist man im Gymnasium da ganz leicht überfordert, wenn man es schriftlich machen will :wink:
Trotzdem will ich des Verfahren noch kurz zu Ende führen:
Nachdem man eine Nullstelle gefunden hat, teilt man den ursprünglichen Term durch (x - die erratene Nullstelle). Damit bekommt man eine Funktion von 2. Grad und kann die Mitternachtsformel anwenden, um noch 2 weitere Nullstellen zu bestimmen.

Schönen Abend noch
Gruß René

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f(x)=x^3+2x^2+2x-1
man klammert x aus: 0=x*(x^2+2x+2)-1

Das bringt dir nix, außer Verwirrung.

Für x^3+2x²+2x-1=0 kommen nur 1 und -1 als ganzzahlige Nullstellen in Frage, gehen aber beide nicht auf. Das kann man wirklich nur mit den bereits genannten Formeln lösen oder aber mit einem geeigneten Iterationsverfahren numerisch auskaspern. Für die reelle Nullstelle kommt dann irgendwas mit Nullkommaquetsch raus. Vermutlich will euer Lehrer euch zeigen, dass kubische Gleichungen nicht mehr so leicht geschlossen lösbar sind wie quadratische …

Gruß Eillicht zu Vensre

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Ich gebe zu, nachgerechnet habe ich nicht. Aber deiner Überlegung liegt ein Irrtum zu Grunde. Eine kubische Gleichung hat im Bereich der reellen Zahlen nicht genau sondern höchstens 3 Lösungen. Eine Funktion dritten Grades kann auch nur eine Nullstelle haben. (einfaches Beispiel x hoch 3 hat nur eine Nullstelle bei x = 0) Man nennt das einen Wendepunkt. Das eine Gleichung n-ten Grades genau n Lösungen hat, gilt nur im Bereich der komplexen Zahlen.