Hallo liebe Mathematisten!
Derzeit befasse ich mich für einen Teilaspekt eines Projektes mit einer Koordinatentransformation, wozu ich die entsprechende Drehmatrix aufgestellt und nach einer Randbedingung auf folgendes Gleichungssystem gekommen bin:
i) cos(b)*cos© = x
ii) sin(a)*sin(b)*cos© + cos(a)*sin© = y
iii) -cos(a)*sin(b)*cos© + sin(a)*sin© = z.
Die Variablen x, y und z sind für die Anwendung bekannt. Nun möchte ich aber die Drehwinkel a (dreht um x-Achse), b(dreht um y-Achse) und c (dreht um z-Achse) ermitteln…
//Anm.: Der Schreibweise wegen hab ich sie hier mal nicht mit alpha, beta und gamma bezeichnet. ;o) //
-> Meine Gedankenansätze dazu:
Drei Gleichungen und drei Unbekannte also - das muss doch analytisch lösbar sein, oder!?!
Aus (i) bekommt man ja noch ganz simpel einen Ausdruck für c in Abhängigkeit von b.
Wenn ich diesen Ausdruck in (ii) und/oder (iii) einsetze, so kann ich aus 'nem Faktor auch einen tollen Tangens machen…
Für Additionstheoreme à la „sin(a+b)“ habe ich aber stets einen Faktor zuviel in je einem Summand…
Und auch der Quotient (ii)/(iii) führt mich bisher zu keinem passablen Lösungsansatz…
Ich dreh mich scheinbar im Kreis - vielleicht sind auch meine Mathe-Kenntnisse aus dem Grundstudium schon zu lange her…
Ich wäre für jede (möglichst schnelle) Hilfe absolut dankbar, da ich erst nach Lösung dieses Gleichungssystems in diesem Projekt vernünftig weiterkomme…
Gruß, Xav
i) cos(b)*cos© = x
ii) sin(a)*sin(b)*cos© + cos(a)*sin© = y
iii) -cos(a)*sin(b)*cos© + sin(a)*sin© = z.
-> Meine Gedankenansätze dazu:
Drei Gleichungen und drei Unbekannte also - das muss doch
analytisch lösbar sein, oder!?!
Hallo Xav !
Ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und drei Unbekannten muss noch lange nicht analytisch lösbar sein, das von dir aufgestellte System ist nämlich höchst nichtlinear, und das ist das Problem.
Die Nichtlinearität kommt einerseits durch die Produkte und andererseits durch die trigonometrischen Funktionen.
Letzteres kann man beheben indem man aus dem 3x3-System mit a,b und c als Unbekannte ein 6x6-System mit den Unbekannten u1=sin(a), u2=cos(a), u3=sin(b), u4=cos(b), u5=sin© und u6=cos© macht. Als zusätzliche Gleichungen nimmt man sin2+cos2=1. Daraus erhält man:
u4u6=x
u1u3u6+u2u5=y
-u2u3u6+u1u5=z
u1u1+u2u2=1
u3u3+u4u4=1
u5u5+u6u6=1
Damit hat man sich der trigonometrischen Funktionen entledigt, was gut ist wenn man das System numerisch lösen will, und ich denke dir wird nichts anderes übrig bleiben. Die u-Matrix lässt sich sehr leicht ableiten, deshalb würde ich dir das Newtonverfahren vorschlagen.
Wenn du das u-System gelöst hast kannst du durch Resubstitution a,b und c ausrechnen - falls du wirklich an ihnen interessiert bist, meistens will man eh nur die trigonometrischen Werte.
Ich hoffe das hilft dir erst mal weiter, ansonten schreib am besten einfach nochmal.
Grüße !
hendrik
Hallo Hendrik!
Ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und drei Unbekannten
muss noch lange nicht analytisch lösbar sein, das von dir
aufgestellte System ist nämlich höchst nichtlinear, und das
ist das Problem.
AAARRRGGHHH!!! - Verdammt, ich hab’s schon vermutet…
Ich hoffe das hilft dir erst mal weiter, ansonten schreib am
besten einfach nochmal.
Vielen Dank für den Ansatz - dann werd’ ich mir mal das Newton-Verfahren anschauen. - Wenn ich da nicht weiterkomme, dann nehm’ nerve ich halt nochmal… ;o)
Gruß,
Xav