Hallo liebes Forum,
ich zerbreche mir wegen den folgenden 3 Aufgaben den Kopf und komme zu keiner Lösung:
Zeigen Sie: sqrt(7+4(sqrt3)) + sqrt(7-4(sqrt3) = 4
Formen Sie 2/ ( (sqrt11) + (sqrt 13) ) so um, dass ein möglichst einfacher Ausdruck ohne Quadratwurzeln im Nenner entsteht
Die Zahl des sogenannten goldenen Schnitts ist g= 0,5 ( 1 + (sqrt5)). Zeigen sie, dass sie die Glechgung 1/g = g -1 erfüllt!
Vielen Dank im Voraus
Hallo Benjamin!
Zeigen Sie: sqrt(7+4(sqrt3)) + sqrt(7-4(sqrt3) = 4
Formen Sie 2/ ( (sqrt11) + (sqrt 13) ) so um, dass ein
möglichst einfacher Ausdruck ohne Quadratwurzeln im Nenner
entstehtDie Zahl des sogenannten goldenen Schnitts ist g= 0,5 ( 1 +
(sqrt5)). Zeigen sie, dass sie die Glechgung 1/g = g -1
erfüllt!
2 und 3 sind einfach, das geht nur mit Rechnen. 1 hab ich nur durch „gezieltes Raten“ lösen können, keine Ahnung, ob’s auch „elementar“ geht.
Machen wir erst einmal 2, das ist das Einfachste. (Sollte man auch eigentlich in der 8. Klasse lernen, aber die ist ja lange her …)
Sehen wir uns den Term
\frac{2}{\sqrt{11}+\sqrt{13}}
mal genau an. Wir haben im Nenner eine Summe von Wurzeln, die wir aus dem Nenner herausbekommen sollen.
Erste Frage: Was kann man mit Brüchen machen, um sie irgendwie geschickt umzuformen? Klar: Erweitern oder Kürzen. Bei Summen im Zähler zieht man den Bruch auseinander („dividiert aus“) und kürzt; bei Summen im Nenner bleibt uns nichts anderes als zu erweitern.
Zweite Frage: Womit soll man erweitern? Nun, da dort zwei Wurzeln auftreten, wäre es ja schön, wenn wir mit irgendwas erweitern könnten, das die Wurzeln einzeln quadriert. Okay, Du hast die Stichwörter: Summe im Nenner, einzeln quadrieren … da fallen einem doch sofort die binomischen Formeln ein!
(a+b)²=a²+2ab+b²
(a-b)²=a²-2ab+b²
(a+b)(a-b)=a²-b².
Aha! Die dritte binomische Formel quadriert einzeln. Also erweitern wir doch mit Wurzel(11) - Wurzel(13):
\frac{2}{\sqrt{11}+\sqrt{13}}\cdot\frac{\sqrt{11}-\sqrt{13}}{\sqrt{11}-\sqrt{13}}
=\frac{2\cdot\left(\sqrt{11}-\sqrt{13}\right)}{11-13}
=-\left(\sqrt{11}-\sqrt{13}\right)=\sqrt{13}-\sqrt{11}.
Fertig, einfacher wird’s nicht.
Nun zur 3: Da benutzen wir einfach denselben Trick, um den Kehrwert auszurechnen:
\frac{1}{;\frac{1+\sqrt{5}}{2};}
=1:\frac{1+\sqrt{5}}{2}
=1\cdot\frac{2}{1+\sqrt{5}}
=\frac{2}{1+\sqrt{5}}\cdot\frac{1-\sqrt{5}}{1-\sqrt{5}}
=\frac{2\cdot\left(1-\sqrt{5}\right)}{1-5}
=\frac{\sqrt{5}-1}{2}.
Und dass das dasselbe wie g-1 ist, sieht man quasi sofort.
Ich quadriere also a + b*Wurzel(3):
\left(a+b\sqrt{3}\right)^2=a^2+2ab\sqrt{3}+b^2\cdot3=(a^2+3b^2)+(2ab)\sqrt{3}.
Mit den gegebenen Werten muss also a²+3b²=7 sein und 2ab=4 (bzw. -4).
Die einfachste Addition, die mir einfällt, bei der 7 rauskommt, ist 4+3. Da müsste also a²=4 und b²=1 sein, also a=±2, b=±1. Überprüfen wir die zweite Bedingung, stellen wir fest, dass sie erfüllt ist - und zwar im Falle 2ab=4 mit gleichen, bei 2ab=-4 mit verschiedenen Vorzeichen.
Wir haben also gezeigt, dass
\left(2+\sqrt{3}\right)^2=\left(-2-\sqrt{3}\right)^2=7+4\sqrt{3}
und
\left(2-\sqrt{3}\right)^2=\left(-2+\sqrt{3}\right)^2=7-4\sqrt{3}
gilt.
Damit ist die Wurzel(7+4*Wurzel(3))=2+Wurzel(3) [uns interessiert ja nur die positive Wurzel], während die Wurzel(7-4*Wurzel(3))=2-Wurzel(3) ist.
[Dazu muss man sich noch überlegen, dass 2-Wurzel(3) positiv ist; aber das ist, denke ich, kein Problem.]
Tja, und nun addieren wir einfach:
\sqrt{7+4\sqrt{3}}+\sqrt{7-4\sqrt{3}}
=\left(2+\sqrt{3}\right)+\left(2-\sqrt{3}\right)=4,
was zu beweisen war.
Liebe Grüße
Immo
hi,
binomische etüden …
- Zeigen Sie: sqrt(7+4(sqrt3)) + sqrt(7-4(sqrt3) = 4
die linke seite der gleichung ist jedenfalls positiv.
quadrieren wir einmal nach der binomischen regel:
(a+b)² = a² + 2ab + b²
… = 7+4(sqrt3) + 2*sqrt((7+4(sqrt3)*(7-4(sqrt3) + 7-4(sqrt3) =
denn sqrt(a)*sqrt(b) = sqrt(ab)
= 14 + 2*sqrt(49-16*3) =
denn (a+b)*(a-b) = a²-b²
= 14 + 2*sqrt(1) = 16
und wenn das quadrat 16 ist und die zahl selbst positiv ist, muss sie wohl 4 sein.
- Formen Sie 2/ ( (sqrt11) + (sqrt 13) ) so um, dass ein
möglichst einfacher Ausdruck ohne Quadratwurzeln im Nenner
entsteht
erweitere den gesamten bruch mit (sqrt13) - (sqrt 11); dann hast du im nenner sqrt(13)² - sqrt(11)² = 2
es enstehen dann halt wurzeln im zähler. aber das darf sein.
- Die Zahl des sogenannten goldenen Schnitts ist g= 0,5 ( 1 +
(sqrt5)). Zeigen sie, dass sie die Glechgung 1/g = g -1
erfüllt!
bissl rumrechnen:
1/g = 1/(0,5 ( 1 + (sqrt5))) = 2/( 1 + (sqrt5)) = …
und jetzt machst du wie in aufgabe 2 den nenner rational durch erweitern mit (1 - (sqrt5))
… = 2*(1 - (sqrt5)) / (( 1 + (sqrt5)*(1 - (sqrt5))) =
= 2*(1 - (sqrt5)) / (1 - 5) = -(1 - (sqrt5))/2 =
= (sqrt(5) -1)/2
g-1 = 0,5 ( 1 +(sqrt5)) -1 = (1 +(sqrt5))/2 - 2/2 =
= (sqrt(5) -1)/2
hth
m.
Hey Benjamin,
und 3. kann ich schon mal erklären.
\frac{2}{\sqrt{11}+\sqrt{13}} = \frac{2 \cdot (\sqrt{11}-\sqrt{13})}{(\sqrt{11}+\sqrt{13}) \cdot (\sqrt{11}-\sqrt{13})} = \frac{2 \cdot (\sqrt{11}-\sqrt{13})}{11-13} = \sqrt{13}-\sqrt{11}
g = \frac{1}{2} \cdot (1 + \sqrt{5})
\frac{1}{g} = g - 1 => 1 = g \cdot ( g - 1 )
1 = \frac{1}{2} \cdot (1 + \sqrt{5}) \cdot (\frac{1}{2} \cdot (1 + \sqrt{5})-1) = (\frac{\sqrt{5}}{2}+\frac{1}{2})\cdot(\frac{\sqrt{5}}{2}-\frac{1}{2})=\frac{5}{4}-\frac{1}{4}=1
Ich hoffe, man kann ein wenig nachvollziehen, welche Umformungen ich gemacht habe.
Gruß René