Hallo!
Ich habe ein Verständnisproblem bei folgendem Zusammenhang und hoffe, mir kann da jemand weiterhelfen.
Wenn ich eine mehrdimensionale Funktion auf globale Extrema untersuchen soll, so bestimme ich ihren Gradienten, setzte diesen gleich Null und erhalte ein Gleichungssystem das ich für x1, x2,…, xn löse und erhalte meinen oder meine kritischen Punkte.
Nun bilde ich die Hessematrix und setzte die gefundenen kritischen Punkte in diese ein. Da die Hessematrix immer symmetrisch ist, bestimme ich nun ihre Eigenwerte. Sind sie alle größer Null, liegt eine relative Minimalstelle vor, sind sie kleine Null, eine relative Maximalstelle.
Ist das soweit richtig?
Nun soll aber noch angegeben werden, ob es sich bei den gefundenen relativen Extrema auch um globale Extrema handelt. Und da steh’ ich nun auf dem Schlauch.
Kann es sein, dass es sich nur dann um ein globales Extremum handeln kann, wenn die Hessematrix nicht mehr von dem eingesetzten Punkt abhängt, d.h. keine Variablen mehr in der Hessematrix vorhanden sind?
Oder gibt es da noch andere Kriterien?
Vielen Dank für Eure Hilfe!
Beste Grüße,
Christian
Hallo!
Ich habe ein Verständnisproblem bei folgendem Zusammenhang und
hoffe, mir kann da jemand weiterhelfen.
Wenn ich eine mehrdimensionale Funktion auf globale Extrema
untersuchen soll, so bestimme ich ihren Gradienten, setzte
diesen gleich Null und erhalte ein Gleichungssystem das ich
für x1, x2,…, xn löse und erhalte meinen oder meine
kritischen Punkte.
Nun bilde ich die Hessematrix und setzte die gefundenen
kritischen Punkte in diese ein. Da die Hessematrix immer
symmetrisch ist, bestimme ich nun ihre Eigenwerte. Sind sie
alle größer Null, liegt eine relative Minimalstelle vor, sind
sie kleine Null, eine relative Maximalstelle.
Ist das soweit richtig?
Ja.
Nun soll aber noch angegeben werden, ob es sich bei den
gefundenen relativen Extrema auch um globale Extrema handelt.
Und da steh’ ich nun auf dem Schlauch.
Kann es sein, dass es sich nur dann um ein globales Extremum
handeln kann, wenn die Hessematrix nicht mehr von dem
eingesetzten Punkt abhängt, d.h. keine Variablen mehr in der
Hessematrix vorhanden sind?
Wenn die Hessematrix nicht mehr von den Variablen abhängt und nur positive Eigenwerte hat, heißt das ja gerade, dass sie global positiv definit ist. Die Funktion ist dann konvex und hat nur ein einziges Minimum, was dann natürlich auch global ist. Genauso für negative Eigenwerte, dann ist die Funkton konkav.
Sollte die Hessematrix indefinit sein, weil sie z.B. von den Variablen abhängt, bleibt einem nur, alle lokalen Extrema zu bestimmen und miteinander zu vergleichen um das globale Extremum zu finden.
Grüße !
hendrik