Hallo,
Kann mir bitte jemand erklären wie man ein globales Extremum berechnet.
Also ich hab ne Funktion gegeben, die ich auch gezeichnet hab.
Jetzt kommt aber die Frage:
Ermittle das globale Maximum im Intervall [3;6]
In diesem Intervall liegt jetzt aber der Tiefpunkt der Funktion.
Also gibt es doch kein Maximum in diesem Intervall, oder?
Muss ich da irgendwie einen Grenzwert berechnen?
lg seagal
Hey Steven,
naja, wie man Extremum berechnet, weißt du ja. Global heißt einfach, dass auf dem ganzen Intervall:
-kein Funktionswert unter dem Extremum liegt, wenn es ein Tiefpunkt ist oder
-kein Funktionswert drüber liegt, wenn es ein Hochpunkt ist.
Das in einem bestimmten Intervall schon ein Extremwert existiert, schließt ja nicht aus, dass noch weitere enthalten sind.
(Kleines Beispiel: f(x)=sin(1/x) hat im Intervall (0,1] unendlich viele Extremwerte)
Um jetzt ein Maximum als ein globales zu bestimmen, schaust du dir die Funktionswerte deiner anderen Extremwerte in dem Intervall an (wenn sie vorhanden sind) und suchst dir schon mal den größten raus.
Jetzt musst du noch schauen, wie sich die Funktion an den Intervallgrenzen verhält. Also die Grenzen in die Funktion einsetzen, Funktionswert ausrechnen und mit deinem Maximum vergleichen.
Wenn das Maximum den größeren Funktionswert besitzt, ist er auf diesem Intervall global.
Gruß René
Hallo,
Aber in dem Intervall liegt ja nur der Tiefpunkt, d.h. alle anderen Funktionswerte liegen ja drüber
Jetzt mal mit Werten: TP wäre bei mir bei (4,65; 6,65)
und Intervallgrenzen P(3; 8) P(6; 6,875)
Auch ohne Grenzen läuft die rechte Seite des Grafen gegen +unendlich und die linke Seite gegen die Polstelle x=2
Da gibt es doch kein anderes Maximum
lg seagal
Hi,
Wie theBozz in seinem Artikel schon gesagt hat, bedeutet globales Maximum in dem Intervall bloß, dass es keinen Funktionswert gibt, der höher ist.
Jetzt hast du für deine Intervallgrenzen ja schon Werte eingesetzt. 8 ist ja eindeuteig größer als 6,875 und da in es in diesem Intervall anscheinend keinen Punkt gibt, dessen y-Wert größer als 8 ist, ist das wohl das globale Maximum.
lg
Merlin
Ahh sry, hab ich vergessen.
Ein globaler oder lokaler Extremwert auf einem beschränkten Intervall muss nicht unbedingt etwas mit dem Extremwert im allgemeinen Sinn zu tun haben (damit meine ich f’(x) muss an der Stelle nicht unbedingt 0 sein).
Wenn es auf einem abgeschlossenen Intervall keine Unstetigkeiten besitzt, dann existiert ein Minumum und ein Maximum.
(Satz von Weierstraß: http://de.wikipedia.org/wiki/Stetigkeit#Satz_vom_Min…)
Für deine Aufgabe heißt das, dass dein Maximum an den Intervallgrenzen angenommen wird - nochmal: Dazu muss nicht zwingend die Ableitung 0 sein.
Also ist an deinem Punkt (3;8) ein globales Maximum (auf diesem Intervall).
Gruß René
Hallo,
Danke für die Antworten.
Also ist nun ein globales Maximum der höchste Funktionswert in einem Intervall unabhängig vom bereits existierenden Extrempunkt.
lg seagal
Moin, seagal,
laut meinem alten Müller-Merbach (ein Buch: Operations Research, Vahlen, 1973) ist ein globaler Extremwert ein globaler Extremwert und die Angabe des Intervalls deshalb sinnlos. Innnerhalb eines Intervalls kann es einen Extremwert (oder auch mehrere) geben; ob das ein globaler ist, lässt sich nicht sagen, ohne den Rest der Welt - den Globus - zu betrachten.
Gruß Ralf
Holla.
laut meinem alten Müller-Merbach (ein Buch: Operations
Research, Vahlen, 1973) ist ein globaler Extremwert ein
globaler Extremwert und die Angabe des Intervalls deshalb
sinnlos.
So kenne ich das auch. Die Frage nach dem globalen Extremwert der Funktion f ist demnach das Gleiche wie die Suche nach der Lösung einer Ungleichung f(x) E) [für ein globales Minimum: Existiert kein xE, das diese Ungleichung erfüllt, dann haben wir ein globales Minimum identifiziert].
Gruß Eillicht zu Vensre
Hey Eillicht zu Vensre,
deine Gleichung ist - glaub ich - nicht richtig (Entweder ist dein Ungleichheitszeichen falsch rum oder alle x müssen die Ungleichung erfüllen). Aber ich nehme an, dass du das richtige meinst, und damit zeigst du, dass die Aussage von Ralf nicht richtig ist.
Etwas formaler sieht deine Aussage ja so aus:
Die Funktion f: U \rightarrow \mathbb R hat an der Stelle x_0 ein globales Minimum genau dann, wenn \forall_{x \in U} f(x) \geqq f(x_0)
Dem globalen Minimum ist aber egal, ob U der komplette Raum \mathbb R ist oder nur ein Intervall davon.
In dem Beispiel von Steven ist U = [3;6] und wenn die Funktion in dem Intervall stetig ist, nimmt die Funktion auf dem Intervall ein globales Maximum sowie ein globales Minimum an.
Gruß René