Hallo,
ich würde mich sehr über Eure Hilfe für mein folgendes Problem freuen:
Ich habe im Rahmen einer empirischen Analyse einen Datensatz über ca 500 Untersuchungswerte erstellt. Jedem Objekt wird dabei ein bestimmter Kostenwert zugeordnet.
Nun möchte ich diese Daten als eine Funktion darstellen. Meine banale Frage in diesem Zusammenhang lautet nun welchen Grad das Polynom haben sollte?
Ich würde mich sehr über eure Unterstützung freuen!
Beste Grüße,
Klaus
Hi,
eenn Du eine Kurve möchtest die GENAU durch alle 500 Punkte gehen soll, dann ein Polynom 499ten Grades.
Wenn Du eine Ausgleichskurve haben willst, dann google mal „Regression“
oder „Regressionsgerade“ „Regressionsanalyse“
und zu guter Letzt das Wichtigste: die „Methode der kleinsten Quadrate“
Ach ja, lass Dir von einem PC alle Punkte aufzeichnen, wenn die Punktwolke ungefähr wie ne Gerade aussieht, dann halt erster Grad.
Wenn die Wolke wie ne Parabel aussieht, dann 2ter usw.
Ich habe im Rahmen einer empirischen Analyse einen Datensatz
über ca 500 Untersuchungswerte erstellt. Jedem Objekt wird
dabei ein bestimmter Kostenwert zugeordnet.Nun möchte ich diese Daten als eine Funktion darstellen. Meine
banale Frage in diesem Zusammenhang lautet nun welchen Grad
das Polynom haben sollte?Ich würde mich sehr über eure Unterstützung freuen!
Beste Grüße,
Klaus
Hallo Klaus
Eine Antwort ist nicht möglich, so lange Du nicht mindestens einige strukturelle Informationen über die von Dir zu erstellende Kostenfunktion hast.
Was Du tatsächlich tun musst ist
In der Praxis sinnvoll sind meines Wissens Polynome so bis dritten oder vierten Grades (wenn das prinzipielle Verhalten überhaupt polynomial ist). Der Grund ist einfach: Je höher der Grad des Polynoms, desto empfindlicher ist die Bestimmung der Parameter auf Fehler in der Messung. Hast Du die Messung also z.B. auf 2 Stellen hinter dem Komma bestimmt und änderst die zweite Stelle nur um 1, dann kann es dir bei höheren Polynomen vorkommen, dass die Parameter völlig andere Werte annehmen.
Gruß
Thomas
Hallo,
zunächst möchte ich mich herzlich für eure Antworten bedanken. Dann möchte ich mich dafür entschuldigen, dass ich meiner Frage nicht ausreichende Informationen hinzugefügt habe.
Dies möchte ich nun nachholen: Mein Datensatz beschreibt nicht direkt eine Kostenfunktion, sondern vielmehr eine Angebotsfunktion. Die Daten, die ich gesammelt habe, stellen Grenzkosten von Kraftwerken dar.
Basierend auf diesen Grenzkosten bildet sich am Spotmarkt das Angebot. Dazu werden die Grenzkosten der verschiedenen Kraftwerke (also die Kosten zur Erzeugung einer MWh Elektrizität) beginnend mit den geringsten Kosten aufsteigend sortiert.
Eine Korrelation der Daten liegt entsprechend nicht vor. Es ist auch nicht nötig jeden Punkt in der Funktion darzustellen. Wenn ich die Daten in Excel eingebe und die Trendlinie hinzufüge, passt am Besten ein Polynom dritten Grades. Für mich erstaunlich, bildet die von Excel generierte Ausgleichsfunktion vierten Grades den empirischen Kurvenverlauf deutlich schlechter ab.
Mich würde also sehr interessieren, ob ich zum einen ruhigen Gewissens mit dem Polynom dritten Grades rechnen kann und was der Grund dafür ist, dass die Funktion vierten Grades die Realität schlechter abbildet?
Herzlichen Dank für Eure Hilfe,
Klaus
3ter Grad? Ja natürlich kann das sein.
Wenn die Realität wie ein Grad 3 verhält und Du das versuchst mit 4 darzustellen geht das schief.
Hossa Klaus 
Dazu werden die Grenzkosten der verschiedenen
Kraftwerke (also die Kosten zur Erzeugung einer MWh
Elektrizität) beginnend mit den geringsten Kosten aufsteigend
sortiert.
Also fängt die Funktion links unten flach an, steigt in der Mitte dann stärker an, um am Ende wieder abzuflachen… Die Funktion hat also einen Wendepunkt, bei dem sie von einer Linkskrümmung in eine Rechtskrümmung übergeht.
Wenn ich die Daten in Excel eingebe und die Trendlinie
hinzufüge, passt am Besten ein Polynom dritten Grades.
Das ist bei diesem Kurvenverlauf nicht verwunderlich. Ein Polynom dritten Grades hat immer genau einen Wendepunkt, an dem die Kurve ihr Krümmungsverhalten ändert.
f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\quad;\quad a\not=0
f^\prime(x)=3ax^2+2bx+c
f^{\prime\prime}(x)=6ax+2b
f^{\prime\prime\prime}(x)=6a\not=0
[a darf nicht Null sein, da f(x) sonst kein Polynom 3-ten Grades ist.]
Die zweite Ableitung ist Null für x= -b/(3a). Und weil die dritte Ableitung immer ungleich Null ist, muss dies ein Wendepunkt sein.
mich erstaunlich, bildet die von Excel generierte
Ausgleichsfunktion vierten Grades den empirischen
Kurvenverlauf deutlich schlechter ab.
Ein Polynom vierten Grades passt logisch nicht so gut, es muss keinen Wendepunkt haben und kann maximal zwei Wendepunkte haben. Um diese auszurechnen, muss auch hier die zweite Ableitung gleich Null gesetzt werden:
f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e\quad;\quad a\not=0
f^\prime(x)=4ax^3+3bx^2+2cx+d
f^{\prime\prime}(x)=12ax^2+6bx+2c
f^{\prime\prime\prime}(x)=24ax+6b
Es ergibt sich eine quadratische Gleichung:
12ax^2+6bx+2c=0\quad\Longrightarrow\quad x^2+\frac{b}{2a},x+\frac{c}{6a}=0
x=-\frac{b}{4a}\pm\sqrt{\frac{b^2}{16a^2}-\frac{c}{6a}}
Zwingst du das Polynom dazu nur einen Wendepunkt zu haben, muss die Wurzel Null ergeben. Das ergibt eine Nebenbedingung für die gesuchten Parameter:
\frac{b^2}{16a^2}-\frac{c}{6a}=0\quad\Longrightarrow\quad6ab^2=16a^2c\quad\Longrightarrow\quad 3b^2=8ac\quad\Longrightarrow\quad a=\frac{3b^2}{8c}
Mit anderen Worten, wenn du ein Polynom 4-ten Grades dazu zwingst, genau einen Wendepunkt zu haben, hat es die Form:
f(x)=\frac{3b^2}{8c},x^4+bx^3+cx^2+dx+e
Hier hat man dieselben 4 freien Parameter wie beim Polynom 3-ten Grades (die Koeffizienten vor x3, x2…). Aber der Koeffizient vor dem x4 ist nicht Null und hängt von den anderen ab. Dadurch wirkt er immer als „Störenfried“.
Mich würde also sehr interessieren, ob ich zum einen ruhigen
Gewissens mit dem Polynom dritten Grades rechnen kann und was
der Grund dafür ist, dass die Funktion vierten Grades die
Realität schlechter abbildet?
Viele Grüße
Hasenfuß