Graphen Sin Funktion/ Volumenberechnung Doppelinte

Wissenschaft Mathematik
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Hallo,
ich habe eine Frage zu einer Aufgabe. Ich weiß leider gar nichts damit anzufangen und finde auch nichts konkretes darüber: Die Aufgabe lautet:
Skizzieren Sie den Graphen der sin- Funktion über dem Intervall[15;20)

Wie muss ich da verfahren?
Desweiteren habe ich noch eine Frage zu einer anderen Aufgabe und zwar lautet sie so:
Bestimmen Sie mittels Integration das Volumen des Körpers im R^3 über dem Einheitsquadrat in der x,y,z Ebene (mit Eckpunkten (0,1),(1,0),(1,1) und (0,1) und der Ebene, welche in (x,y,z)Koordinaten-durch die 3 Raumpunkte (0,0,11), (2,0,13) und (0,3,8) festgelegt sind.

Dazu weiß ich, dass es ein Doppelintegral sein muss, habe aber keine Ahnung wie ich beginnen muss??
Bin für jegliche Hilfe dankbar!
Eure verzweifelte Vanessa

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moin;

wie du weißt, ist die sin-Funktion 2pi-periodisch.
Daraus folgt wiederum, dass sin(15)=sin(15 mod 2pi) gilt.

Einige Punkte der Funktion kannst du dir auch einfacher berechnen, beispielsweise:
sin(k*pi)=0;
sin((1+4k)pi/2)=1;
sin((3+4k)pi/2)=-1.

Zu deiner zweiten Aufgabe:
Die einfachste Ebene im (x,y,z) Raum kann offenbar mithilfe von z=f(x,y)=ax+by+c dargestellt werden.
Eingesetzt ergibt sich:
c=11
2a+c=13
3b+c=8

Daraus ergibt sich die funktionale Gleichung der Ebene, die du für das Doppelintegral verwenden kannst.

mfG

P.S.: Das wären nur meine ersten Ansätze, kann durchaus sein dass noch einige Schönheitsfehler lauern.

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Hossa Vanessa :smile:

Auf die erste Frage hat Devil ja schon detailiert geantwortet. Ich möchte seine Antwort zur zweiten Frage noch etwas ergänzen.

Du hast 3 Punkte a, b und c gegeben, die eine Ebene bilden. Gesucht ist nun die Fläche, die diese Ebene mit dem Eineitsquadrat (Kantenlänge 1) einschließt. Die 3 Punkte lauten:

\vec{a}=\begin{pmatrix}0\0\11\end{pmatrix}\quad;\quad\vec{b}=\begin{pmatrix}2\0\13\end{pmatrix}\quad;\quad\vec{c}=\begin{pmatrix}0\3\8\end{pmatrix}

Für diese drei Punkte brauchst du eine Paremeterdarstellung, in der ein Zusammenhang zwischen den 3 Koordinaten x, y und z hergestellt wird. Dazu berechnest du zuerst einen Vektor s, der senkrecht auf der Ebene steht:

\vec s=(\vec b-\vec a)\times(\vec c-\vec a)=\left[\begin{pmatrix}2\0\13\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\0\11\end{pmatrix}\right]\times\left[\begin{pmatrix}0\3\8\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\0\11\end{pmatrix}\right]
=\begin{pmatrix}2\0\2\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}0\3\-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-6\6\6\end{pmatrix}

Der Einfachheit halber wählen wir als senkrechten Vektor nicht s=(-6,6,6), sondern s=(-1,1,1). Für alle Punkte p auf der Ebene E gilt nun die Parametergleichung:

E:\quad\vec s\cdot\vec p-d=0

Zur Berechnung von d setzen wir einfach einen Punkt für p ein, z.B. den Punkt a:

d=\vec s\cdot\vec p=\vec s\cdot\vec a=\begin{pmatrix}-1\1\1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}0\0\11\end{pmatrix}=11

Damit haben wir alles zusammen. Für jeden Punkt p=(x,y,z) auf der Ebene E gilt die Parametergleichung:

E:\quad\begin{pmatrix}-1\1\1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix}-11=0\quad\Longleftrightarrow\quad -x+y+z-11=0

so dass die zu integrierende Funktion lautet:

f(x,y)=z=x-y+11

Diese ist nun einfach über x und y, jeweils im Intervall [0;1] zu integrieren. Das Volumen V ist also:

V=\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\left(x-y+11\right);dx,dy

Nach dem Satz von Fubini darfst du die Integrale der Reihe nach berechnen. Wir fangen mit dx an:

V=\int_{0}^{1}\left[\frac{x^2}{2}-yx+11x\right]_{x=0}^{1},dy=\int_{0}^{1}\left(11,5-y\right),dy=\left[11,5y-\frac{y^2}{2}\right]_{y=0}^{1}=11

Viele Grüße

Hase