Grasendes Schaf

[One5_c3ee0f]

Ihr kennt das Rätsel wahrscheinlich - aber ich die Lösung leider nicht :o(

Also:
Wir haben eine kleine, RUNDE, schöngelegene und mit saftigem Gras bestandene Wiese. Der Besitzer hat ein kleines, weisses, wuscheliges und ziemlich dummes Schaf. Wenn er es einfach auf der Wiese laufen lassen würde, hätte es bald das ganze Gras gefressen, wäre dick und rund und würde am Schluss kollabieren. Um das zu verhindern, beschliesst der Bauer/Besitzer, dass es nur die Hälfte des Grases fressen soll, sprich die halbe Wiese abgrasen darf. Da das besagte Wolltier eine dementsprechende Aufforderung aber nicht verstehen würde und der Bauer auch keine Lust hat, eine Abgrenzung zu errichten, bindet er das Schaf einfach am Zaun (um die ganze Wiese verläuft ein Zaun!) fest und macht das Seil genau so lang, dass das Schaf die halbe Fläche erreichen kann.
Frage: Wie lang ist denn das Seil, mit dem das Schaf festgebunden ist?

(abhängig vom Radius; natürlich ist die maximale Seillänge gesucht und nicht gefragt, wieviel Seil der gute Mann wohl für die beiden Knoten verbraucht hat!)

Viel Spass,
One5

(mehr Rätsel auf www.donk.de - ups, darf ich ja nicht sagen, oder?)

[GreenBeret]

Also entweder ich hab die Aufgabenstellung nicht verstanden oder das war leicht…

A=R²·π

A/2=r²·π

 R²·π
------=r²·π
 2

π kürzt sich raus

dann ist:
 R² R 
r=√(---) = --------
 2 √(2)

Greenberet *dem das so einfach vorkommt das er glaubt das es falsch ist*

[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]

[One5_c3ee0f]

Hi,
das ginge eben leider nur so einfach, wenn sich der gute Mann wenigstens die Mühe gemacht hätte, einen Pfosten in die Mitte der Wiese zu schlagen und das Vieh dort anzubinden! Aber lieder war ihm das zu viel Aufwand und er hat es einfach an den Zaun (also aussen!) festgebunden!

o) One5
[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]

[Shinji_Schneider]

Aber wir wissen jetzt ja schon dass das Schaf von innen her so und soviel rein müsste um das halbe Gras zu fressen, at ergo nehmen wir einfach den ganzen Kreis MINUS die Berrechnung von vorhin *g* Ich hoffe mal das stimmt

[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]

[One5_c3ee0f]

Hi,
stimmt leider wieder nicht.
Es würde stimmen, wenn das Schaf von jeder Stelle des Zaunes den von dir vorgeschlagenen Radius ‚nach innen grasen‘ könnte.
Da es aber festgebunden ist an genau EINER Stelle wird es z.B. nie zur gegenüberliegenden Seite des Zaunes kommen, weil es dann ja überall hin kommen würde.

Jetzt klarer?

One5

[Joerg_Rehrmann]

Ihr kennt das Rätsel wahrscheinlich -

Ja, dürfte inzwischen ziemlich bekannt sein

aber ich die Lösung leider nicht :o(

Auf die wirst Du hier vermutlich vergeblich warten. Die Diskussion dazu und warum das so ist, kannst Du im Archiv unter dem Stichwort „Schafrätsel“ nachlesen.

Jörg

Also:
Wir haben eine kleine, RUNDE, schöngelegene und mit saftigem
Gras bestandene Wiese. Der Besitzer hat ein kleines, weisses,
wuscheliges und ziemlich dummes Schaf. Wenn er es einfach auf
der Wiese laufen lassen würde, hätte es bald das ganze Gras
gefressen, wäre dick und rund und würde am Schluss
kollabieren. Um das zu verhindern, beschliesst der
Bauer/Besitzer, dass es nur die Hälfte des Grases fressen
soll, sprich die halbe Wiese abgrasen darf. Da das besagte
Wolltier eine dementsprechende Aufforderung aber nicht
verstehen würde und der Bauer auch keine Lust hat, eine
Abgrenzung zu errichten, bindet er das Schaf einfach am Zaun
(um die ganze Wiese verläuft ein Zaun!) fest und macht das
Seil genau so lang, dass das Schaf die halbe Fläche erreichen
kann.
Frage: Wie lang ist denn das Seil, mit dem das Schaf
festgebunden ist?

(abhängig vom Radius; natürlich ist die maximale Seillänge
gesucht und nicht gefragt, wieviel Seil der gute Mann wohl für
die beiden Knoten verbraucht hat!)

Viel Spass,
One5

(mehr Rätsel auf www.donk.de - ups, darf ich ja nicht sagen,
oder?)

[Anonym]

Wir haben eine kleine, RUNDE, schöngelegene und mit saftigem
Gras bestandene Wiese. Der Besitzer hat ein kleines, weisses,
wuscheliges und ziemlich dummes Schaf. Wenn er es einfach auf
der Wiese laufen lassen würde, hätte es bald das ganze Gras
gefressen, wäre dick und rund und würde am Schluss
kollabieren. Um das zu verhindern, beschliesst der
Bauer/Besitzer, dass es nur die Hälfte des Grases fressen
soll, sprich die halbe Wiese abgrasen darf. Da das besagte
Wolltier eine dementsprechende Aufforderung aber nicht
verstehen würde und der Bauer auch keine Lust hat, eine
Abgrenzung zu errichten, bindet er das Schaf einfach am Zaun
(um die ganze Wiese verläuft ein Zaun!) fest und macht das
Seil genau so lang, dass das Schaf die halbe Fläche erreichen
kann.
Frage: Wie lang ist denn das Seil, mit dem das Schaf
festgebunden ist?

Also:

Betrachten wir oBdA die beiden Halbkreise, die durch folgende Funktionen gegeben sind:

K_Wiese = sqrt(R² - (z-R)² )
wobei R der Radius der Wiese ist und z von 0 bis 2R geht.

K_Schaf = sqrt(r²-z² )
wobei r die Seillänge und z von 0 bis r geht.

Diese beiden Halbkreise schneiden sich bei z_s = 1/2 r²/R

Daraus ergibt sich die (Halb)-Fläche, die vom Schaf abgegrast wird:

F_Schaf = I(0, z_s) K_Wiese dz + I(z_s, r) K_Schaf dz

Da es nur auf das Verhältnis r/R ankommt, kann man die beiden Integrale mittels der Substitution w := z/R berechnen.

Betrachten wir den halben Flächeninhalt der Wiese F_Wiese = 1/4 R² Pi (Hier nur Hälfte von Halbkreis),
so erhalten wir eine transzendente Gleichung, die man noch mittels der Substitution x := r/R vereinfachen kann:
(bis hierher waren ca. zwei DINA4-Schmierzettel nötig)

F_Schaf (x) - F_Wiese = 0 =>

(1 - 1/2x²)asin(x/2) - x/4 sqrt(4-x²) + 1/4 x² Pi - 1/4 Pi = 0

Durch numerische Berechnung erhalte ich etwa x=1,115197.

Das Seil des Schafes ist etwa 1,115197*R Lang

Ich hoffe, daß das mal jemand nachrechnet.

Gruß Frank

[Marcus_Mevius_efbe11]

Das Seil des Schafes ist etwa 1,115197*R Lang

Ich hoffe, daß das mal jemand nachrechnet.

Also nachgerechnet habe ich nicht, aber Dein Ergebnis scheint richtig zu sein, denn ich habe das Raetsel zeichnerisch geloest indem ich die Kreise mit Zirkel auf Millimeterpapier zeichnete und dann die verbleibenden Kaestchen abzaehlte.
Mein Ergebnis war 1,13 R . Mit dieser Methode braucht man zwar nur 5 Minuten und sie war wohl auch nicht im Sinne des Fragestellers, aber in der Zeit die der Bauer braucht das auszurechnen, kann er auch einen Zaun bauen .
Marcus

[Reinhard_fb8cb7]

Adam Riese sagt, die Lösung wäre …
… R = 1.1587284730 * r
Nachzulesen, wenn man erst diesem Link folgt:
http://www.zahlreich.de/hausaufgaben/messages/25/241…
der dann weitergeht zu:
http://www.zahlreich.de/hausaufgaben/messages/24/167…
und schliesslich mit 1,15… endet bei:
http://www.informatik.uni-oldenburg.de/~tjark/dsm/fa…

Bei den letzten beiden links muss man evtl. ein wenig nach oben scrollen.

Nachrechnen kann ich dies leider alles nicht, aber vielleicht hilft es dir, deine lösung zu verifizieren.
Gruß
olala

[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]

[Anonym]

F_Schaf (x) - F_Wiese = 0 =>

(1 - 1/2x²)asin(x/2) - x/4 sqrt(4-x²) +
1/4 x² Pi - 1/4 Pi = 0

Meine numerisches Programm hatte ich wohl „quick und extrem dirty“ eingehackt. Habe es nochmal überarbeitet. Nun liefert mein Programm auch x=1,158728473
Die obige Gleichung scheint deshalb zu stimmen.

Gruß Frank