Gravitative Zeitdilatation

Wissenschaft Physik
#1

Guten Abend,

ich habe in meinem Vorlesungsskript für die Frequenz einer Uhr, die im Verhältnis zu einer anderen Uhr in der Höhe l steht folgende Formel:

f = f0*(1-(g*l)/c²)

Aber das würde doch bedeuten, dass die Frequenz einer Uhr in einer gewissen Höhe niedriger wäre, als die Frequenz einer Uhr auf dem Boden, woraus dann folgen würde, dass die Uhr in der Höhe langsamer geht als die auf dem Boden, da sie ja weniger oft eine ganze Schwingung ausführt und damit sozusagen den Zähler um 1 erhöht. Aber tieferhängende Uhren sollten doch auf der Erde langsamer gehen???

Mag mir einer da meinen Verständnsifehler zeigen, oder ist letztlich doch die Formel falsch??

Vielen Dank im Vorraus,

Ninron

#2

Guten Abend,

ich habe in meinem Vorlesungsskript für die Frequenz einer
Uhr, die im Verhältnis zu einer anderen Uhr in der Höhe l
steht folgende Formel:

f = f0*(1-(g*l)/c²)

Aber das würde doch bedeuten, dass die Frequenz einer Uhr in
einer gewissen Höhe niedriger wäre, als die Frequenz einer Uhr
auf dem Boden, woraus dann folgen würde, dass die Uhr in der
Höhe langsamer geht als die auf dem Boden, da sie ja weniger
oft eine ganze Schwingung ausführt und damit sozusagen den
Zähler um 1 erhöht. Aber tieferhängende Uhren sollten doch auf
der Erde langsamer gehen???

Mag mir einer da meinen Verständnsifehler zeigen, oder ist
letztlich doch die Formel falsch??

Vielen Dank im Vorraus,

Kenne die Formel zwar nicht, aber die Variable mit dem Index 0 ist i.d.R. die Ausgangsgroesse da, wo keine oder weniger Dilatation stattfindet. D.h.: die Formel beschreibt die Frequenzverlangsamung Richtung Koerper in das Feld hinein, nicht vom Koerper weg.
Vom Koerper weg muesste man t und t0 tauschen bzw. teilen, statt multiplizieren.

#3

Hallo,

ja das denke ich mir eigentlich auch so, aber im Skript steht ganz klar, dass das die Formel für die erhöhte Uhr ist und f0 die Frequenz der Uhr am Boden, also muss das doch falsch sein?

#4

Damit ich jetzt selbst nicht durcheinanderkomme:

Schauen wir noch mal die Formel an.

f = f0*(1-(g*l)/c²)

g*l=v²

f = f0*(1-(v/c)²)

dann kommt eigentlich noch eine Wurzel.

f = f0*(1-(v/c)²)^(1/2)

Ist diese Formel so in deinem Script?

Die Ausgangsformel in deinem Script halte ich für fehlerbehaftet. Soll vielleicht den Effekt haben, dass du dich damit beschäftigst.

Ob jetzt f0 unten auf der Erde oder oben ist, ist letztendlich unwichtig. Wichtig ist, dass man f0 korrekt definiert. In dem Fall hier muss f0 die schnellere Frequenz sein, also weniger Gravitation unterlegen.
Wenn f0 unten auf der Erde sein soll und f oben, dann muss geteilt werden, nicht multipliziert (also f und f0 tauschen).

Aufpassen muss man bei der Frequenz zusätzlich allerdings wegen des Beobachter-Winkels.

#5

Hallo!

Schauen wir noch mal die Formel an.

Gute Idee.

f = f0*(1-(g*l)/c²)

g*l=v²

Was soll das für eine Geschwindigkeit sein? Nur weil g*l die Dimension m²/s² hat, bedeutet das nicht, dass das auch eine physikalische Bedeutung hat.

f = f0*(1-(v/c)²)

dann kommt eigentlich noch eine Wurzel.

Woher???

f = f0*(1-(v/c)²)^(1/2)

So, und jetzt sind wir plötzlich beim relativistischen Doppler-Effekt aus der speziellen Relativitätstheorie - ohne dass es dafür einen sinnvollen Grund gäbe!

Nein, die korrekte Formel lautet:

f = f0 * (1 - gl/c²)

f0 ist die höhere Frequenz in großer Höhe, f ist die kleinere Frequenz am Boden. In Deinem ersten Posting hattest Du das richtig.

@Nimron: Wie Chatairliner in seinem ersten Posting schrieb, bezeichnet man die Referenzgröße mit dem Index 0. Das Gravitationspotential 0 herrscht in unendlicher Entfernung von der Erde. Das Gravitationspotenzial auf dem Erdboden ist geringer, also negativ. Wenn es trotzdem so gemeint ist, dass f die Frequenz im Weltall ist (was ich nicht glaube), dann wird die Länge l von oben aus gemessen. Sie bringt dann ein negatives Vorzeichen mit sich.

Michael

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#6

f = f0*(1-(g*l)/c²)

g*l=v²

Was soll das für eine Geschwindigkeit sein? Nur weil g*l die
Dimension m²/s² hat, bedeutet das nicht, dass das auch eine
physikalische Bedeutung hat.

g*l ist die von der Zeitdilatation hervorgerufene äquivalente Geschwindigkeit - die Geschwindigkeit durch die Raumzeit, die jeder Körper besitzt, wenn er sich auf einer konstanten Höhe hält.

Bei der konstanten Geschwindigkeit durch ungekrümmte Raumzeit ergibt sich die Wurzel.

Offenbar, und das wusste ich bisher nicht, weil ich mich nicht mit der Mathematik beschäftigt habe, fällt die Wurzel weg, wenn die Zeitdilatation durch eine Masse, anstatt durch eine konstante Geschwindigkeit hervorgerufen wird. Die Masse hat wohl eine quadatische Wirkung.
Oder ist das nur bei der Frequenz so?

f = f0*(1-(v/c)²)

dann kommt eigentlich noch eine Wurzel.

Woher???

f = f0*(1-(v/c)²)^(1/2)

So, und jetzt sind wir plötzlich beim relativistischen
Doppler-Effekt aus der speziellen Relativitätstheorie - ohne
dass es dafür einen sinnvollen Grund gäbe!

interessant wäre zu wissen, woher die Formel kommt bzw. wie sie entsteht.

Nein, die korrekte Formel lautet:

f = f0 * (1 - gl/c²)

f0 ist die höhere Frequenz in großer Höhe, f ist die kleinere
Frequenz am Boden. In Deinem ersten Posting hattest Du das
richtig.

@Nimron: Wie Chatairliner in seinem ersten Posting schrieb,
bezeichnet man die Referenzgröße mit dem Index 0. Das
Gravitationspotential 0 herrscht in unendlicher Entfernung von
der Erde. Das Gravitationspotenzial auf dem Erdboden ist
geringer, also negativ. Wenn es trotzdem so gemeint ist, dass
f die Frequenz im Weltall ist (was ich nicht glaube), dann
wird die Länge l von oben aus gemessen. Sie bringt dann ein
negatives Vorzeichen mit sich.

Im Grunde hab ich das auch im 2. Posting gemeint.

#7

Hättest Du geschwiegen …
… wärst Du ein Philosoph geblieben.

g*l ist die von der Zeitdilatation hervorgerufene äquivalente
Geschwindigkeit - die Geschwindigkeit durch die Raumzeit, die
jeder Körper besitzt, wenn er sich auf einer konstanten Höhe
hält.

Bei der konstanten Geschwindigkeit durch ungekrümmte Raumzeit
ergibt sich die Wurzel.

Offenbar, und das wusste ich bisher nicht, weil ich mich nicht
mit der Mathematik beschäftigt habe, fällt die Wurzel weg,
wenn die Zeitdilatation durch eine Masse, anstatt durch eine
konstante Geschwindigkeit hervorgerufen wird. Die Masse hat
wohl eine quadatische Wirkung.
Oder ist das nur bei der Frequenz so?

Sorry, aber das ist ganz großer Käse.

interessant wäre zu wissen, woher die Formel kommt bzw. wie
sie entsteht.

Man betrachtet in Gedanken ein System, in dem ein Sender und ein Empfänger relativ zueinander ruhen. Nehmen wir an, dieses System wird mit a=g beschleunigt. Von dem Moment, in dem das Licht ausgesendet wird, bis zu dem Moment, wo es ankommt, vergeht eine gewisse Zeit. In dieser Zeit hat sich die Geschwindigkeit des Empfängers um den Betrag v = at = g * l/c erhöht. Diese Geschwindigkeit fließt in den Dopplereffekt ein, mit dem Ergebnis, dass die Frequenz verschoben ist. Die Formel dafür lautet:

f = f0 * √(1 + β)/√(1 - β) mit β=v/c

Für kleine Geschwindigkeit v kann man nun mit der 1. Taylor-Näherung weiterrechnen und die lautet, wie jeder weiß bzw. wie ich gerade nachgeschlagen habe, eben

f = f0 * (1 - v/c)

bzw. wenn man v = g * l/c einsetzt:

f = f0 * (1 - gl/c²)

Wegen des Äquivalenzprinzips muss dasselbe rauskommen, wenn das oben beschriebene System im homogenen Gravitationsfeld ruht.

Michael

PS: Dass ich in Deinem Posting den Doppler-Effekt kritisiert habe, war doppelt falsch: Erstens braucht man ihn tatsächlich (wenn auch nur für die Herleitung über das Äquivalenzprinzips), zweitens hattest Du gar nicht die Formel des Doppler-Effekts angegeben, sondern diejenige für die Zeitdilatation.

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#8

dazu sind wir nicht hier
…zum Schweigen, meine ich

g*l ist die von der Zeitdilatation hervorgerufene äquivalente
Geschwindigkeit - die Geschwindigkeit durch die Raumzeit, die
jeder Körper besitzt, wenn er sich auf einer konstanten Höhe
hält.

Bei der konstanten Geschwindigkeit durch ungekrümmte Raumzeit
ergibt sich die Wurzel.

Offenbar, und das wusste ich bisher nicht, weil ich mich nicht
mit der Mathematik beschäftigt habe, fällt die Wurzel weg,
wenn die Zeitdilatation durch eine Masse, anstatt durch eine
konstante Geschwindigkeit hervorgerufen wird. Die Masse hat
wohl eine quadatische Wirkung.
Oder ist das nur bei der Frequenz so?

Sorry, aber das ist ganz großer Käse.

interessant wäre zu wissen, woher die Formel kommt bzw. wie
sie entsteht.

Man betrachtet in Gedanken ein System, in dem ein Sender und
ein Empfänger relativ zueinander ruhen. Nehmen wir an, dieses
System wird mit a=g beschleunigt. Von dem Moment, in dem das
Licht ausgesendet wird, bis zu dem Moment, wo es ankommt,
vergeht eine gewisse Zeit. In dieser Zeit hat sich die
Geschwindigkeit des Empfängers um den Betrag v = at = g * l/c
erhöht. Diese Geschwindigkeit fließt in den Dopplereffekt ein,
mit dem Ergebnis, dass die Frequenz verschoben ist. Die Formel
dafür lautet:

f = f0 * √(1 + β)/√(1 - β) mit
β=v/c

Für kleine Geschwindigkeit v kann man nun mit der 1.
Taylor-Näherung weiterrechnen und die lautet, wie jeder weiß
bzw. wie ich gerade nachgeschlagen habe, eben

f = f0 * (1 - v/c)

bzw. wenn man v = g * l/c einsetzt:

f = f0 * (1 - gl/c²)

Wegen des Äquivalenzprinzips muss dasselbe rauskommen, wenn
das oben beschriebene System im homogenen Gravitationsfeld
ruht.

Das widerspricht sinngemäß nicht dem von dir oben benannten von mir kommenden Käse. Mir fehlt lediglich die Mathematik. Deshalb habe ich natürlich v², anstatt v*c geschrieben.
Die von dir definierte Beschleunigung a=g in Form einer Bewegung wird im Fall der Gravitation durch die Bewegung eines Körpers in der Raumzeit hervorgerufen.
Ein Körper in einem Gravitationsfeld befindet sich immer in mindestens 2 bis unendlich vielen Inertialsystemen. Im Kopf vergeht die Zeit schneller als in den Füßen. Dieser Unterschied ruft eine Bewegung hervor.

Letztendlich ist v eben direkt mit g*l verbunden - die Gravitation und die einfache Zeitdilation bei einer konstanten Bewegung basieren auf dem gleichen Prinzip.

Michael

PS: Dass ich in Deinem Posting den Doppler-Effekt kritisiert
habe, war doppelt falsch: Erstens braucht man ihn tatsächlich
(wenn auch nur für die Herleitung über das
Äquivalenzprinzips), zweitens hattest Du gar nicht die Formel
des Doppler-Effekts angegeben, sondern diejenige für die
Zeitdilatation.

Ich hatte die Formel für den transversalen Dopplereffekt als identisch mit dem gravitativen Dopplereffekt gesehen.
Das mag falsch sein, jedoch muss ich gestehen, dann nicht zu verstehen, wieso man mit dem Doppler eine andere Frequenz berechnet als ohne Doppler. Ist das nicht so als gäbe es 2 Lösungen im selben Moment??? …oder geht das jetzt nur bei kleinen Frequenzen???

#9

Hallo!

Das widerspricht sinngemäß nicht dem von dir oben benannten
von mir kommenden Käse.

Oh wohl!

Mir fehlt lediglich die Mathematik.
Deshalb habe ich natürlich v², anstatt v*c geschrieben.

Von v*c war nie die Rede.

Die von dir definierte Beschleunigung a=g in Form einer
Bewegung wird im Fall der Gravitation durch die Bewegung eines
Körpers in der Raumzeit hervorgerufen.

Papperlapapp. Die Beschleunigung a wurde nur angenommen, um die Effekte des Gravitationsfeldes (Ortsfaktor g) aus dem Äquivalenzprinzip herzuleiten.

Letztendlich ist v eben direkt mit g*l verbunden - die
Gravitation und die einfache Zeitdilation bei einer konstanten
Bewegung basieren auf dem gleichen Prinzip.

Du hast es immer noch nicht verstanden: g*l ist keine Geschwindigkeit. Es ist nicht einmal das Quadrat einer Geschwindigkeit, obwohl es die Dimension m²/s² hat. g * l/c ergibt formal eine Geschwindigkeit. Es ist die Geschwindigkeit, die ein Raumschiff hätte, wenn es mit g beschleunigen würde, während ein Lichtstrahl in seinem Inneren die Strecke l zurücklegen würde. l ist ein Maß für die Laufzeit des Lichts. g ist ein Maß für eine fiktive Beschleunigung des Raumschiffs.

Ich hatte die Formel für den transversalen Dopplereffekt als
identisch mit dem gravitativen Dopplereffekt gesehen.

Warum der transversale Dopplereffekt? Die Rotverschiebung tritt doch auf, wenn der Lichtstrahl in Richtung des g-Feldes läuft (also longitudinal, nicht transversal).

Das mag falsch sein, jedoch muss ich gestehen, dann nicht zu
verstehen, wieso man mit dem Doppler eine andere Frequenz
berechnet als ohne Doppler. Ist das nicht so als gäbe es 2
Lösungen im selben Moment???

Es gibt weitaus mehr Lösungen: Eine richtige und unendlich viele falsche.

…oder geht das jetzt nur bei
kleinen Frequenzen???

Nein.

Michael

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#10

Mir fehlt lediglich die Mathematik.
Deshalb habe ich natürlich v², anstatt v*c geschrieben.

Von v*c war nie die Rede.

v*c=g*l, hast du selbst geschrieben

Die von dir definierte Beschleunigung a=g in Form einer
Bewegung wird im Fall der Gravitation durch die Bewegung eines
Körpers in der Raumzeit hervorgerufen.

Papperlapapp. Die Beschleunigung a wurde nur angenommen, um
die Effekte des Gravitationsfeldes (Ortsfaktor g) aus dem
Äquivalenzprinzip herzuleiten.

…und das Äquivalenzprinzip besagt, dass die Gravitation einer Beschleunigung im flachen Raum entspricht.
Und Beschleunigungen sind Geschwindigkeitsänderungen.

Geschwindigkeitsänderungen werden dadurch hervorgerufen, dass man den Weg oder aber die Zeit ändert.
Beim der Gravitation wird die Zeit geändert.

Das versuche ich nur zu erklären.

Letztendlich ist v eben direkt mit g*l verbunden - die
Gravitation und die einfache Zeitdilation bei einer konstanten
Bewegung basieren auf dem gleichen Prinzip.

Du hast es immer noch nicht verstanden: g*l ist keine
Geschwindigkeit. Es ist nicht einmal das Quadrat einer
Geschwindigkeit, obwohl es die Dimension m²/s² hat. g * l/c
ergibt formal eine Geschwindigkeit. Es ist die
Geschwindigkeit, die ein Raumschiff hätte, wenn es mit g
beschleunigen würde, während ein Lichtstrahl in seinem Inneren
die Strecke l zurücklegen würde. l ist ein Maß für die
Laufzeit des Lichts. g ist ein Maß für eine fiktive
Beschleunigung des Raumschiffs.

richtig. Ich habe auch nicht davon gesprochen, dass es sich um eine Geschwindigkeit durch dem Raum handelt.

#11

Also ich bin mir hunderprozentig sicher, dass im Skript steht, dass f die Frequenz im Weltall sein soll, habe aber auch bei meiner Recherche auf Wikiepdia gesehen, dass das Gravitationspotential g der Erde ja eigentlich negativ ist, was dann eingesetzt das Vorzeichen wieder positiv machen würde, udn dann für eine höhere Frequenz der Uhr im Weltall sorgt, was ja auch eigentlich so sein muss.
Vielen Dank aber trotzdem, mir ist das jetzt klarer geworden.