welche Form muß eine ‚große‘ Masse (zB Planet) haben, um eine einzige ‚kleine‘ Masse (zB Mensch oder MetallKugel) stärkstmöglich anzuziehen?
(an der Oberfläche, natürlich)
welche Form muß eine ‚große‘ Masse (zB Planet) haben, um eine
einzige ‚kleine‘ Masse (zB Mensch oder MetallKugel)
stärkstmöglich anzuziehen?
an ihrer Oberfläche befindlich, natürlich.
welche Form muß eine ‚große‘ Masse (zB Planet) haben, um eine
einzige ‚kleine‘ Masse (zB Mensch oder MetallKugel)
stärkstmöglich anzuziehen?an ihrer Oberfläche befindlich, natürlich.
Hallo,
am besten punktförmig (Schwarzes Loch). Insofern ist die Fragestellung sinnlos: je kleiner eine Kugel ist, desto höher die Schwerkraft an der Oberfläche, ad infinitum.
Gruss Reinhard
Moin.
welche Form muß eine ‚große‘ Masse (zB Planet) haben, um eine
einzige ‚kleine‘ Masse (zB Mensch oder MetallKugel)
stärkstmöglich anzuziehen?
Das (newtonsche) Gravitationsgesetz lautet für das Potential U = Gm/r.
Da kommt keine Form des anziehenden Körpers drin vor, sondern nur der Abstand r von seinem (Massen-)Zentrum.
Es gilt also unabhängig von der Form: Starke Gravitationsanziehung hohe Masse, kleines Volumen
Eine Kugel ist derjenige Körper, welcher das größte Volumen zu Oberflächenverhältnis hat, somit auch r für ein gegebenes Volumen am kleinsten ist. (etwas OT: das gilt insbesondere für eine 7-dimensionale Kugel 
Gruß,
Ingo
Das (newtonsche) Gravitationsgesetz lautet für das Potential U
= Gm/r.
Da kommt keine Form des anziehenden Körpers drin vor, sondern
nur der Abstand r von seinem (Massen-)Zentrum.
Natürlich nicht - das Gesetz gilt schließlich nur für Punktmassen. Bei Körpern muß man über ihr Volumen integrieren. Das führt außerhalb kugelsymmetrischer Masseverteilungen zwar zum selben Ergebnis, aber ansonsten hängt das Gravitationspotential eines Körpers von seiner Form ab. Deshalb ist die Frage durchaus sinnvoll und interessant, wenn man neben der Masse auch das Volumen oder die Dichte des Körpers vorgibt. Ich wüßte allerdings nicht, wie man das lösen sollte - außer mit stochastischen Verfahren oder genetischer Optimierung.
dann halt bei gegebener dichte, noch
okok,
dann sei halt auch die Dichte vorgegeben.
(also etwa ‚Planetendichte‘, und einheitliches Material)
Es geht um die Resultierende aller Einzelmasseteilchen der großen Masse (zB Atome oder auch nur geometrisch-rechnerisch abstrakter Punkte) in eine Richtung (des Schwerpunkts der großen Masse). Also den Widerstreit zwischen geringerer Auswirkung der Elementarteilchen-Teilkräfte auf die Resultierende bei größerem Winkel; gegen die Entfernung bei steilem Winkel zur Resultierenden oder daraufliegenden Elementarteilchenkräften.
Es müssen nur beide Funktionen für
- die Gravitationsstärke-Unterschiede bei verschiedenem Winkel in gleichem Abstand zur anzuziehenden kleinen ‚Probemasse‘ und
- die Gravitationsstärke-Unterschiede in Richtung der Resultierenden (Vektor Probemasse Richtung Schwerpunkt große Masse) bei verschiedenem Abstand
… miteinander verglichen werden …
Das geht auch zweidimensional.
Weiß’ nur nich’ genau, wie …
Wirkt sich die Nähe Der Masseteilchen (der großen Masse) stärker aus als der geringere Winkel (ihrer Kraftrichtung, natürlich) zur Resultierenden, dann ist die Lösung irgedwie bohnenförmig oder ‚gestaucht elliptisch‘ mit der Probemasse an der flacheren Seite.
Wirkt sich der geringere Winkel zur Resultierenden stärker aus (als die Nähe bei aber schlechterem Winkel), dann erhalten wir eine Art Rosenblattförmige Lösung (in 3d) mit der Probemasse am ‚Stiel‘ und der Blattspitze gegenüberliegend. (oder ähnlich, wie ein oben halbrundes Senklot nach unten spitz zulaufend)
Versteht Ihr nun, was ich meine.
Hallo, äähm, Betroffener,
welche Form muß eine ‚große‘ Masse (zB Planet) haben, um eine
einzige ‚kleine‘ Masse (zB Mensch oder MetallKugel)
stärkstmöglich anzuziehen?
gibt nicht die Natur die Lösung vor? Wenn man die Sonne in nullter Näherung als Flüssigkeit ansieht, die Oberfläche als aus freien Teilchen bestehend betrachtet und behauptet, dass sich das alles schon von selbst regelt (Testmasse: Volumenelement der Sonnenoberfläche; wo würde es hinrutschen, wenn die Kugel nicht die optimale Form wäre, um alle Testmassen so tief ins Potenzial zu bringen wie möglich?).
Grüße, Thomas
Hi…
Es geht um die Resultierende aller Einzelmasseteilchen der
großen Masse (zB Atome oder auch nur geometrisch-rechnerisch
abstrakter Punkte) in eine Richtung (des Schwerpunkts der
großen Masse).
Ich habe das mal mit einer Tabellenkalkulation simuliert. Ergebnis:
Die höchste Oberflächengravitation hat, bei gegebener Masse und Dichte, eine Kugel. Netterweise findet man diese maximale Oberflächengravitation gerade bei diesem Körper nicht nur an einem Punkt, sondern auf der ganzen Oberfläche.
Bei Gelegenheit versuche ich mal, das auch mit ernsthafter Mathematik zu beweisen.
genumi
was für Formeln; wie ‚simuliert‘?
mit was für Formeln?
bzw, wie ‚simuliert‘?
Hallo, äähm, Betroffener,
welche Form muß eine ‚große‘ Masse (zB Planet) haben, um eine
einzige ‚kleine‘ Masse (zB Mensch oder MetallKugel)
stärkstmöglich anzuziehen?gibt nicht die Natur die Lösung vor?
Nicht, dass ich wüsste.
Wenn man die Sonne in
nullter Näherung als Flüssigkeit ansieht, die Oberfläche als
aus freien Teilchen bestehend betrachtet und behauptet, dass
sich das alles schon von selbst regelt (Testmasse:
Volumenelement der Sonnenoberfläche; wo würde es hinrutschen,
wenn die Kugel nicht die optimale Form wäre, um alle
Testmassen so tief ins Potenzial zu bringen wie möglich?).
Das ist ein ganz andere Thema. Was Du meinst ist nicht die Form, bei der die Kraft an irgend einem Punkt der Oberfläche maximal wird, sondern die Form, bei der die Kraft an allen Punkten senkrecht zur Oberfläche wirkt.
Beweisversuch: Keine Kugel.
Nehmen wir eine erdähnliche Kugel, mit r=6000km. Am Nordpol sei ein Männeken mit 100 kg Eigengewicht.
Wir vergleichen die Gravitationswirkung einer Tonne Kugelmasse am Äquator und einer Tonne Kugelmasse am Südpol auf das Männchen.
Die Gravitationskonstante sei einfachheitshalber =1.
Die Gravitationswirkung ist dann aus der Formel
F = (m1 * m2) / r^2
zu errechnen (mit r= Abstand der beteiligten Massen)
-
Tonne am Äquator
Männeken, Schwerpunkt des Kugelplaneten und Tonne am Äquator bilden ein rechtwinkliges, gleichseitiges Dreieck.
Die Tonne am Äquator befindet sich in Wurzel(6000^2 + 6000^2) km Entfernung vom Männeken.
Ihre Gravitationswirkung beträgt also: (100 * 1000)/ 72.000.000 = ca. 0,00139
(Ich verzichte auf Einheiten … hier müßten es Newton sein)
In Richtung der Resultierenden, also des Lots vom Männeken durch den Schwerpunkt des Kugelplaneten, ist diese Gravitationswirkung um den Faktor
1 / Wurzel(2) geschmälert:
Wir haben immer noch mit einem rechtwinkeligen, gleichseitigen Dreieck zu tun, bestehend aus
dem einfachheitshalber am Männeken ansetzenden Kraftvektor der Äquatortonne, sowie
dessen horizontaler Komponente (die nicht interessiert) und
dessen vertikaler Komponente auf dem Lot unter dem Männeken.
Nach dem Kräfteparallelogramm ist diese vertikale Komponente (ihre Länge und ihr Wert) genau die Gravitationswirkung in Richtung des Lots.
Im gleichseitigen Dreieck hat die Hypothenuse (oder im Quadrat die Diagonale) die Länge: Wurzel(2) * Seitenlänge (des Dreiecks oder Quadrats).
Unsere Komponente in Lotrichtung hat also den Wert des Kraftvektors / Wurzel(2):
0,00139 / 1,414 = 0,000982 … Einheit müßten Newton sein. -
Tonne am Südpol
(100 * 1000)/ 12000^2 = 0,000694
Tragen wir also die Tonne und einige benachbarten Tonnen vom Südpol ab und legen sie säuberlichst am Äquator an, haben wir größere Gravitationswirkung aufs Männchen und keine Kugel mehr, sondern zB einen einseitig gestauchten Ellipsoid. Aber die Gesamtlösung mag wieder anders aussehen.
Hi…
mit was für Formeln?
bzw, wie ‚simuliert‘?
An den Rändern zwei lineare Skalen für die Ortsbestimmung. Dann ein großes Feld voll mit Feldern, die folgende Formel enthalten:
=-ROUND(h/SQRT(h²+d²)/(h²+d²);2)
(h ist ein Verweis auf die Höhenskala, d ein Verweis auf die Skala mit dem seitlichen Abstand)
Durch die Rundung auf zwei Stellen und das Vorzeichen, wird der Inhalt aller Felder, die eine senkrechte „Kraft“ größer/gleich 0,05 ausüben, negativ. Dann stellt man noch die Zahlenformatierung so ein, daß negative Werte rot angezeigt werden und macht die Spalten schmaler, so daß die Felder etwa quadratisch sind. Voilà, ein roter Kreis. Oder eben nicht, siehe unten.
Nun noch die Erklärung für die Formel:
Die Gesamtkraft, die ein Masseteilchen auf die Testmasse ausübt, ist umgekehrt proportional zum Quadrat der Entfernung, also F = k * 1/s².
k ist ein Proportionalitätsfaktor, der die Massen und die Gravitationskonstante enthält, mit denen ich mich in dieser Modellrechnung nicht weiter herumärgern wollte, weil sie eh über das ganze Feld konstant sind.
s² = d² + h²
F = k * 1/(d² + h²)
Nun interessiert uns aber nur die senkrechte Komponente dieser Kraft. Diese verhält sich zur Gesamtkraft so, wie der gesamte zum horizontalen Abstand, also
Fs = F * h / s
Fs = F * h / √(d² + h²)
Fs = k * 1/(d² + h²) * h / √(d² + h²)
Fs = k * h / √(d² + h²) / (d² + h²)
Den Faktor k kann man im Prinzip auch weglassen, es geht ja nur darum, die Zellen zu finden, die die größte Kraft ausüben, und der Zelleninhalt nach obiger Formel ist zur Kraft proportional.
Eine Anmerkung noch: Übers Wochenende hab ich einen Fehler in der Tabelle entdeckt, der paradoxerweise zur perfekt runden Form geführt hat. Tatsächlich ist der „ideale Gravitator“ leicht elliptisch und dazu auf der der Testmasse zugewandten Seite abgeflacht, also eine der Formen, die Du selbst schon gefunden hast. Die große Halbachse ist ca. 17% länger als die kleine.
Wenn Du willst, kann ich Dir auch meine Tabelle schicken - hast Du OpenOffice, oder muß ich nach Excel konvertieren?
genumi
letzter Rechenschritt stimmt nich’
hi,
toll, daß noch 'ne gute Antwort kommt! (war knapp - habe mich gerade in 'nem Physik-Forum registriert deswegen - posten Durch Deine Antwort jetzt überflüssig)
=-ROUND(h/SQRT(h²+d²)/(h²+d²);2)
(doppelte Brüche irritieren mich immer, weil zB (8/4)/2=1 und 8/(4/2)=2, Kommutativ gilt dann nich mehr … aber das nur nebenbei)
Nun interessiert uns aber nur die senkrechte Komponente dieser
Kraft. Diese verhält sich zur Gesamtkraft so, wie der gesamte
zum horizontalen Abstand, also
das hatte ich selbst nich’ ganz auf die Reihe gekriegt!
(„wie senkrechter Abstand zu gesamtem“, aber das hast Du ja gemeint, unten stimmt’s ja wieder)
Fürchte von hier
Fs = k * 1/(d² + h²) * h / √(d² + h²)
nach hier
Fs = k * h / √(d² + h²) / (d² + h²)
stimmt’s nich’:
1/(d²+h²) * h/Wurzel(d²+h²)
gleichnamig machen:
1/(d²+h²) * ( h*Wurzel(d²+h²) / (Wurzel(d²+h²)*Wurzel(d²+h²)) )
1/(d²+h²) * ( h*Wurzel(d²+h²) / (d²+h²) )
jetzt kann man multiplizieren
( h*Wurzel(d²+h²) ) / (d²+h²)
eine Wurzel wegkürzen
h / Wurzel(d²+h²)
(Hab’s glaub’ ich bissel umständlich gemacht, aber stimmt, mein’ ich)
Wenn Du willst, kann ich Dir auch meine Tabelle schicken
Nee, Danke! … kann’s mir bildhaft vorstellen und hab das ganze mit java programmiert … bin allerdings mit den (zwar richtigen) Formeln ziemlich durcheinandergekommen. (Die senkrechte Komponente hat mich bissel verwirrt … mit Kehrwert, Strahlensatz, oder doch per cosinus?!, usw und dachte ich muß zwei Formeln noch vergleichen - eine für Teilmassen mit Winkel zur Resultierenden und eine für Teilmassen auf der Resultierenden, was ja völlig unnötig is’??)
bohnenförmig!!
Oje! Du hattest recht!
Hab’ falsch multipliziert!? (Im Nenner)
Es kommt dann doch 'raus, was Du gepostet hast!
Also doch ‚bohnenförmig‘!!
Is’ doch interessant … schonmal, daß es nich’ die naheliegende Kugel is’!?
Auch müßte so vielleicht ein mono-POL aussehen!?
Wenn man’s genau nimmt, is’ wahrscheinlich der ‚kleine‘ Körper in einer leichten Mulde des ‚großen‘, da der Gewinn an Nähe zum größten Teil der großen Masse, den Verlust an Kraft in Richtung der Resultierenden durch die wenigen dann über dem Berührungspunkt (also sogar entgegenwirkenden) liegenden Teilmassepünktchen der großen Masse, überwiegt.
Dann sollte auch die kleine Masse noch die optimalForm haben. Also auch bohnenförmig, oder flach anliegend, fast Kreisscheibe?!
Dann, wenn man’s weiterentwickelt für ‚Probemassen‘ nicht nur an der Oberfläche, sondern in beliebiger Entfernung, ist die optimale Form bei ‚großer‘ Entfernung zB 'ne Kreisscheibe!? Und nimmt erst bei abnehmender Entfernung ‚Bohnenform‘ an.
Läßt man nun noch einen Tunnel (wie Einstein in seinem Aufzug-Beispiel durch die Erde von wegen Beschleunigung=Gravitation oder so ähnlich) … läßt man um die Resultierende einen Tunnel frei, dann gibt’s bestimmt eine interessante Animation damit oder ein lustiges und aufschlußreiches Physik-Applet, oder?
Insgesamt eine durchaus komplexe Problemstellung.
Also, vielen Dank! allen, die geantwortet haben!
insbesondere Dr.Stupid, der wenigstens die Problemstellung als erstes erkannt hat und genumi, der die Lösung gefunden hat!
peinlich, peinlich