Hallo,
Nun meine Frage (ich hoffe, dass sie nicht allzu blöd klingt):
Was genau berechne ich denn, wenn ich diese Grenzwerte
bestimme? In der Praxis kann ich mir in diesem Fall unter
einem Grenzwert nämlich leider nichts vorstellen, und mein
Mathebuch gibt zu diesem Thema auch nicht wirklich was her.
Es wäre also nett, wenn sich jemand die Mühe machen würde und
mir kurz erklären könnte, was der Grenzwert eigentlich
aussagt!
Okay, ich hoffe, dass ich die Frage richtig verstehe.
Wir nehmen einfach mal ein Beispiel:
Angenommen Du hast den folgenden Term: 1/n
Dann kannst Du jetzt z.B. für n eine natürliche Zahl einsetzen und schauen was rauskommt.
Wenn man 1 einsetzt, dann bekommt man 1 raus, wenn man 2 einsetzt, dann kommt einhalb (1/2) raus, usw…
(Wenn man so eine „Funktion“ hat, bei der man die natürlichen Zahlen nacheinander einsetzt und dann jeweils einen Wert rausbekommt, dann nennt man das Folge.)
Jetzt stellt man ja fest, dass die Ergebnisse immer kleiner werden, wenn man sehr große Zahlen einsetzt.
Setze ich z.B. mal die 8 ein, dann erhalte ich 1/8=0,125 also schon was sehr kleines.
Im Endeffekt bemerken wir also, dass wenn man nur genügend große n wählt, dass dann 1/n immer näher an die 0 rankommt.
Und das ist eigentlich die Aussage vom Grenzwert:
lim(n->00) 1/n = 0
Jetzt kann man kompliziertere Folgen betrachten: z.B. (4n+2)/(n-1)
Da sieht man jetzt vielleicht nicht sofort, wohin das geht, wenn man da große n einsetzt. Es gilt:
lim(n->00) (4n+2)/(n-1) = 4
Sprich: „Wenn man sehr große n einsetzt, dann wird das Ergebnis fast 4.“
Und jetz zur Stetigkeit:
Am deutlichsten wird die Sache, denke ich, wenn man mal eine unstetige Funktion betrachtet.
Nehmen wir mal die Funktion f(x) := x / |x|
Und weil man durch Null nicht teilen kann, definieren wir noch dazu:
f(0) := 0
Wir stellen fest, dass f(x) den Wert -1 für alle negativen x hat, den Wert 0 an der Stelle 0 und den Wert 1 für alle positiven x.
Und jetzt betrachten wir mal, was die Stetigkeit ergibt:
Die Symbolik „lim(x->x_0)“ bedeutet soviel, wie „ich gehe ganz dicht mit meinem x an das x_0 ran“
Wir wählen x_0 := 0. Soll heißen, wir wollen schauen, ob unser f(x) an der Stelle 0 stetig ist. Das machen wir jetzt einfach.
Wir müssen prüfen, ob gilt:
lim(x->0) f(x) = f(0)
Nun, was f(0) ist, wissen wir: f(0)=0 - das war so definiert.
Was ist aber lim(x->0) f(x)?
Betrachten wir mal den rechten Grenzwert. Das ist der Grenzwert, der sich ergibt, wenn wir nur positive x zulassen.
Wir wissen f(x)=1 für alle positiven x.
Also ist f(x) auch dann noch 1, wenn ich ganz furchtbar dicht dran bin, an der Null. Also gilt:
lim(x->0, x>0) f(x) = 1
Das ist blöd, damit ist ja bereits ausgeschlossen, dass gilt:
lim(x->0) f(x) = f(0), da 1 nicht = 0 ist.
Die Funktion f(x) ist also an der Stelle 0 nicht stetig.
Der linksseitige Grenzwert ist übrigens -1.
An jeder anderen Stelle ist die Funktion übrigens stetig.
Beispiel: x_0 := 1
f(1)=1
lim(x->1) f(x) = 1
=> lim(x->1) f(1) = 1 = f(1)
Hier noch ein paar Grenzwerte zum Nachrechnen und schauen, ob verstanden:
lim(n->00) wurzel(n) = 00
lim(n->00) 1^n = 1 (1^n bedeutet: 1 hoch n)
lim(x->0, x4) x^2-11 = 5
Danke schonmal an alle, die sich diesen konfusen Text auch nur
durchgelesen haben! 
Falls mein Problem aus diesem Text nicht ganz ersichtlich ist,
versuche ich auf Wunsch auch gern, es nochmals zu erklären!
Ich hoffe, dass ich das Problem richtig gedeutet habe.
Ansonsten empfehle ich Dir auch wirklich nochmal mit dem Lehrer darüber zu sprechen. Ein paar Zeichnungen können da Wunder im Verständnis bewirken.
Beste Grüße,
Zwergenbrot
PS: Liebe Mathefreaks:
Natürlich sind einige Formulierungen nicht mathematisch korrekt. Aber zum besseren Verständnis wurde hier zumeist bewusst auf Exaktheit verzichtet.