Hallo
ich hab da eine aufgabe bei der ich nicht weiß wie ich die lösen soll.
lim(x->(-1)) ((x+1)/(x^2-x-2))
Laut Maple ist der Grenzwert -1/3 und hab keine Ahnung wie ich drauf kommen soll!
Bin für jede hilfe dankbar!
Gruß
Julia
Hallo Julia!
lim(x->(-1)) ((x+1)/(x^2-x-2))
Laut Maple ist der Grenzwert -1/3 und hab keine Ahnung wie ich
drauf kommen soll!
Zunächst einmal: Warum wird ausgerechnet der Grenzwert für x -> -1 betrachtet? Hm, wenn man -1 in den Nenner einsetzt, kommt 0 raus (im Zähler auch, aber das ist nicht so wichtig) - es liegt also eine Definitionslücke bei x=-1 vor. Die Funktion ist an der Stelle nicht definiert.
Dann muss man überlegen: Kann ich die Funktion evtl. umformen, so dass die Definitionslücke aufgehoben wird?
x^2-x-2 = (x-2)(x+1) [Diese Faktoren bekommst du raus, wenn du die Nullstellen des Polynoms berechnen willst - sonst werden auch gerne binomische Formeln eingebaut, die „gesehen“ werden wollen.]
Damit lässt sich lim(x->(-1)) (x+1)/(x^2-x-2) umformen zu lim(x->-1) (x+1)/(x-2)(x+1).
Die x+1 lassen sich als Faktor in Zähler und Nenner rauskürzen.
Von der umgeformten Aufgabe bleibt damit nur lim(x->-1) 1/(x-2) übrig. Nun ist der Nenner nicht mehr Null, wenn du für x -1 einsetzt, du kannst also den Grenzwert einfach angeben. Und der stimmt mit dem Ergebnis überein, den dir schon Maple ausgespuckt hat.
Alles klar?!
Gruß sannah
JA
super, danke
Wieso läuft die selbe funktion, wenn x->2+0 läuft, gegen unendlich?
Es ist ein rechtsseitiger Grenzwert.Laufen die rechts-/linksseitigen Grenzwerte immer gegen unendlich?
Gruß
Hallo Julia,
dass der Graph der Funktion gegen unendlich geht, hat nichts mit der Frage zu tun, ob der Grenzwert ein links- oder rechtsseitiger ist.
Für die Grenzwertberechnung an der Stelle x=2 kannst du (anders als für x= -1) die Definitionslücke ja nicht rauskürzen. Es bleibt ein Ausdruck 1/„0“ und der strebt gegen unendlich. Ob gegen „plus oder minus unendlich“, entscheidet hier allein die Tatsache, ob die „0“ im Nenner „kleiner oder größer 0“ ist. Dafür berechnest du die links- oder rechtsseitigen Grenzwerte über 2+0 (von rechts) oder 2-0 (von links). Damit bekommst du das Vorzeichen raus.
Kleine Anmerkung: Eigentlich müsstest du den Limes (h->0) an der Stelle 2+h bzw. 2-h berechnen, deine Bezeichnung „2+0“ ist zwar sachdienlich, aber flapsig.
Gruß sannah
Du kannst den links- bzw. rechtsseitigen Grenzwert analog auch an der Stelle x=-1 berechnen. Da sollte auf beiden Seiten das gleiche rauskommen, nämlich lim = -1/3.
Aber das nur am Rande.
sannah
hi,
es gibt verschiedene möglichkeiten:
- behebbare stellen (wie in deiner ausgangsfunktion -1´, wo rechts- und linksseitige grenzwerte endlich sind und übereinstimmen
- unstetigkeitsstellen, wo links- und rechtsseitige grenzerte endlich sind und nicht übereinstimmen.
- unstetigkeitsstellen, wo die die grenzwerte unendlich sind … und vielleicht trotzdem übereinstimmen.
…
hier ist der rechtsseitige grenzwert +oo; d.h. die funktion überschreitet von rechts an x = 2 herankommend jeden beliebigen wert.
der linksseitige grenzwert ist -oo, denn von unten an x = 2 herankommend unterschreitet die funktion jede beliebige zahl.
man nennt so was auch eine „polstelle“.
m.
Hallo!
Nur ein alternativer weg, der ebenfalls funktionieren könnte/sollte falls du die Faktorisierung nicht siehst bzw sie nicht möglich ist:
Du hast im Prinzip einen Ausdruck „0/0“ Null durch null.
Das ist ein nicht definierter Ausdruck, es ist nicht bestimmt, was dabei herauskommt. daher kannst du die Regel von de l’hospital anwenden. Du differnezierst oben und unten getrennt! (Nicht nach der Quotientenregel!) und betrachtest dann denGrenzwert. Hast du wieder eine unbestimmte Form einfach nochmal.
lg
Alex