Zur Berechnung des Grenzwertes:
lim x->1 (x^a - 1)/(x^b - 1) a,b aus N
Wer hat einen Hinweis?
Danke!
Hi,
http://de.wikipedia.org/wiki/Regel_von_L%E2%80%99Hos…
Muesste also
\lim_{x \to 1}
\frac{x^a - 1}{x^b -1}=
\lim_{x \to 1}
\frac{ax^{a-1}}{bx^{b-1}}=
\frac{a}{b}
sein.
Gruss
rantanplan
Zur Berechnung des Grenzwertes:
lim x->1 (x^a - 1)/(x^b - 1) a,b aus NWer hat einen Hinweis?
Danke!
Hallo Wolfran,
wenn die Aufgabe im Grundkurs kommt und man dort L’Hospital nicht kennt, hilft auch Faktorisierung (Polynomdivision): Das Problem ist ja, dass x=1 eine Nullstelle von xk-1 ist. Also dividiert man:
x<sup>k</sup> - 1 = x<sup>k-1</sup> + x<sup>k-2</sup> + ... + x + 1.
-(x<sup>k</sup> - x<sup>k-1</sup>)
------------
x<sup>k-1</sup> - 1
-(x<sup>k-1</sup> - x<sup>k-2</sup>)
--------------
x<sup>k-2</sup> - 1
...
...
...
-----------
x² - 1
-(x² - x)
-----------
x - 1
Also ergibt sich
xa - 1 (x<sup>a-1</sup> + x<sup>a-2</sup> + ... + x + 1)(x - 1)
lim -------- = lim ------------------------------------ ,
x-\>1 xb - 1 x-\>1 (x<sup>b-1</sup> + x<sup>b-2</sup> + ... + x + 1)(x - 1)
und nun kann man kürzen, den Grenzübergang machen, Summanden zählen und a/b herausbekommen.
Liebe Grüße
Immo