Grenzwert - aber ohne L'Hospital, hier möglich?

Wissenschaft Physik
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Hallo zusammen.

Ich habe den Grenzwert von f(x) = [exp(x) - 1]/[x] berechnet, und zwar nach de L’Hospital

lim_(fuer x gegen Null) f(x) = exp(x) = 1,

da das Kriterium Zähler und Nenner konvergieren gegen Null, erfüllt ist.

Jetzt frage ich mich, wie man es hätte ohne L’Hospital lösen können? Irgendein Trick wird sich da wohl finden lassen? Ich dachte da zunächst an eine Taylorreihenentwicklung, aber in diesem Fall bringt die einem nichts.

Hat da jemand eine Idee?

Viele Grüße
Disap

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Hallo,

Ich habe den Grenzwert von f(x) = [exp(x) - 1]/[x] berechnet,

[…]

Jetzt frage ich mich, wie man es hätte ohne L’Hospital lösen
können? Irgendein Trick wird sich da wohl finden lassen? Ich
dachte da zunächst an eine Taylorreihenentwicklung, aber in
diesem Fall bringt die einem nichts.

Aber natürlich:

lim (x->0) [exp(x)-1]/x
= lim (x->0) [1+x+1/2 x²+O(x³)-1] x
= lim (x->0) (x+1/2 x² + O(x³))/x
= lim (x->0) 1 + 1/2 x + O(x²)
= 1

Grüße,
Moritz

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Danke
Hallo.

Aber natürlich:

lim (x->0) [exp(x)-1]/x
= lim (x->0) [1+x+1/2 x²+O(x³)-1] x
= lim (x->0) (x+1/2 x² + O(x³))/x
= lim (x->0) 1 + 1/2 x + O(x²)
= 1

Oooh. Vielen Dank!

Beste Grüße
Disap