Hallo zusammen,
wir haben im Übungsseminar ein wenig Grenzwerte von Folgen geübt und dabei bin ich hierrüber gestolpert, was ich nicht ganz verstehe:
lim_(n->±infinity) (2 n+n^2+n^3)/(1+n+n^2+n^3) = 1
Die Frage ist schlicht:
Wieso kann ich daraus direkt schließen, dass der Grenzwert = 1 ist?
mfg
Der Sohn
Hi!
Hallo zusammen,
wir haben im Übungsseminar ein wenig Grenzwerte von Folgen
geübt und dabei bin ich hierrüber gestolpert, was ich nicht
ganz verstehe:lim_(n->±infinity) (2 n+n^2+n^3)/(1+n+n^2+n^3) = 1
Fehlt da bei (2 n+n^2+n^3) ein +? Ich denke mal ja. Nun, im Grund ist das eine einfache Überlegung. Setzt du n=0, so bleibt nur 2/1=2. Setzt du dagegen n=10, kommt da 1112/1111 raus, was schon recht nahe an 1 rankommt. Je kleiner/größer n, umso weniger beeinflussen die Konstanten das Ergebnis. Sie spielen einfach im Vergleich zu den riesigen Zahlen keine Rolle mehr. Die beiden Teile n+n^2+n^3 kürzen sich dann zu 1 und das war’s. Anders sähe es bei (2*(n+n^2+n^3))/(3*(n+n^2+n^3)) aus, da wäre der Grenzwert dann 2/3.
mfg
Der Sohn
MfG,
TheSedated
Das 2/3 beispiel ist mir vollkommen klar, nur seh ich bei meinem Beispiel nicht, dass 1 herraus kommt, wenn ichs nicht mal mit ner hohen Zahl probiere.
Zwischen 2 und n kommt übrigens ein * und kein +, hätte das Leerzeichen noch rausnehmen sollen^^
Der unterschied zwischen oben und unten ist demnach n oben und 1 unten und für n->infinity ist es denk ich schon ein signifikanter Unterschied, deswegen wundert es mich, dass man ohne weiteres sagen kann, dass der Grenzwert 1 ist.
Das läuft nach dem gleichen Prinzip. Setze n=100, dann hast du
(2*100+100^2+100^3)/(1+100+100^2+100^3)=
(200+10000+1000000)/(1+100+10000+1000000)=
1010200/1010101
Wirklich Gewicht haben da eigentlich nur die höchsten Potenzen und ihre jeweiligen Faktoren (falls vorhanden).
Hallo zusammen
Hallo,
da das Einsetzen immer größerer Zahlen kein Beweis im mathematischen Sinne ist, liefer ich einen solchen hier mal nach.
lim_(n->±infinity) (2 n+n^2+n^3)/(1+n+n^2+n^3) = 1
Du klammerst einfach oben und unten n3 aus und kürzt dann.
\frac{2n+n^2+n^3}{1+n+n^2+n^3}=\frac{n^3\left(\frac{2}{n^2}+\frac{1}{n}+1\right)}{n^3\left(\frac{1}{n^3}+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{n}+1\right)}=\frac{\frac{2}{n^2}+\frac{1}{n}+1}{\frac{1}{n^3}+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{n}+1}
Daraus folgt
\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{2n+n^2+n^3}{1+n+n^2+n^3}=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{\frac{2}{n^2}+\frac{1}{n}+1}{\frac{1}{n^3}+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{n}+1}=\frac{\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{2}{n^2}+\frac{1}{n}+1\right)}{\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{1}{n^3}+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{n}+1\right)}=\frac{1}{1}=1
Gruß
hendrik
Hallo auch.
da das Einsetzen immer größerer Zahlen kein Beweis im
mathematischen Sinne ist, liefer ich einen solchen hier mal
nach.
Danke!
\lim\limits_{n\rightarrow\infty}
\frac{ \frac{2}{n^2} + \frac{1}{n} + 1 }{
\frac{1}{n^3} + \frac{1}{n^2} + \frac{1}{n}+1
}\frac{\lim\limits_{n\rightarrow\infty}
\left(\frac{2}{n^2}+\frac{1}{n}+1\right)}
{\lim\limits_{n\rightarrow\infty}
\left(\frac{1}{n^3}+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{n}+1\right)
}
=\frac{1}{1}=1
Ergänzend schreibe ich noch dazu, dass das Verteilen des Grenzwertes auf den Zähler und Nenner erst im Nachhinein dadurch gerechtfertigt wird, dass die einzeln genommenen Grenzwerte existieren.
Liebe Grüße,
TN