Hallo!
Folgende Aufgabe macht mir Probleme:
gegeben ist eine Funktion f von R* nach R, und k grösser gleich 0.
Man soll zeigen, dass für a Element R oder |a|=unendlich
aus lim(f(x)+kf’(x))=a folgt:
lim(f(x)=a, wobei jeweils x gegen unendlich gehen soll.
Man soll dazu denn Quotienten(für k grösser 0)
f(x)*exp(x/k)/exp(x/k) untersuchen, aber ich weiß nicht, wo da der Zusammenhang sein soll.
Danke schon mal für Tips!
Gruss
Jonas
Hi!
gegeben ist eine Funktion f von R* nach R, und k
grösser
gleich 0.
Man soll zeigen, dass für a Element R oder
|a|=unendlich
aus lim(f(x)+kf’(x))=a folgt:
lim(f(x)=a, wobei jeweils x gegen unendlich
gehen soll.
Interessante Aufgabe!!
Die Lösung:
lim(f(x))
=lim[(f(x)*exp(x/k)/exp(x/k)]
=lim[(1/k*f(x)*exp(x/k)+f’(x)*exp(x/k)) / (1/k*exp(x/k))]
=lim(f(x)+k*f’(x))
Dabei wurde beim zweiten Gleichheitszeichen die Regel von l’Hospital verwendet. Dies ist jedoch nur zulässig, wenn
lim[(f(x)*exp(x/k)]=oo
ist. Das dürfte bei den „meisten“ Funktionen wohl auch der Fall sein - sollte aber eigentlich in der Aufgabenstellung als Voraussetzung genannt werden!
Gruß
Oliver
Hi Oliver,
Danke für die Antwort!
Ich frage mich jetzt aber, wie man den Beweis führen soll, wenn f(x)exp(x/k) einen endlichen Grenzwert hat, man also nicht die Regel von l’Hospital anwenden kann. Meine Idee dazu ist:
wenn lim(f(x)*exp(x/k)) endlich ist, so muss offensichtlich lim(f(x))=0 sein.
In diesem Fall muss man also noch zeigen, dass aus lim(f(x))=0 folgt: lim(f’(x))=0.
Das ist ja eigentlich offensichtlich, denn wenn der Funktionswert gegen 0 geht muss ja auch die Steigung gegen 0 gehen.
Der Beweis dafür ist vermutlich fast schon trivial, aber im Moment fällt mir dazu leider auch nichts ein…
Gruss
Jonas
P.S. Kann man die Regel von l’Hospital eigentlich auch anwenden, wenn eine Funktion gegen +oo und die andere gegen -oo geht?
Interessante Aufgabe!!
Die Lösung:
lim(f(x))
=lim[(f(x)*exp(x/k)/exp(x/k)]
=lim[(1/k*f(x)*exp(x/k)+f’(x)*exp(x/k)) / (1/k*exp(x/k))]
=lim(f(x)+k*f’(x))Dabei wurde beim zweiten Gleichheitszeichen die Regel von
l’Hospital verwendet. Dies ist jedoch nur zulässig, wennlim[(f(x)*exp(x/k)]=oo
ist. Das dürfte bei den „meisten“ Funktionen wohl auch der
Fall sein - sollte aber eigentlich in der Aufgabenstellung als
Voraussetzung genannt werden!Gruß
Oliver
Hallo,
In diesem Fall muss man also noch zeigen, dass
aus lim(f(x))=0
folgt: lim(f’(x))=0.
Das ist ja eigentlich offensichtlich, denn wenn
der
Funktionswert gegen 0 geht muss ja auch die
Steigung gegen 0
gehen.
Könnte man auf den ersten Blick meinen. Betrachte aber als Gegenbespiel die Funktion
g(x)=1/x*sin(x²)
sie geht offensichtlich gegen Null für x->oo.
Die Ableitung ist jedoch
g’(x)=-1/x²*sin(x²) + 2*cos(x²)
und sie geht nicht gegen Null, sondern gegen 2*cos(x²).
Gruß
Oliver
P.S. Kann man die Regel von l’Hospital eigentlich auch
anwenden, wenn eine Funktion gegen +oo und die andere gegen
-oo geht?
Ja, man kann das Minus ja auch rausziehen.
Hallo,
ich glaub’ ich hab’s!
Also, wenn lim[f(x)*exp(x/k)] endlich ist, sagen wir gleich r, dann gilt ja einerseites - wie du schon richtig festgestellt hast:
lim[f(x)*exp(x/k)] = r lim f(x) = 0
Andererseits kann man aber auch wieder durch geschicktes Umschreiben L’Hospital anwenden:
r=lim[f(x)*exp(x/k)]
=lim[f(x)/exp(-x/k)]
=lim[f’(x)/(-1/k*exp(-x/k))]
=-k * lim[f’(x)*exp(x/k)]
Damit folgt dann aber auch genau wie oben:
lim[f’(x)*exp(x/k)] = -r/k lim f’(x) = 0
…und der Beweis ist vollständig.
Gruß
Oliver