Hallo.
Ich möchte die Summe (untere Grenze k=1, bis n) berechnen, wobei n unendlich sein soll
Summe_(k=1)^(n) 0.5[1 / (2k-1)+ 1/k - ( 1/(2k+1) + 1/k)] berechnen.
(Oder besser dargestellt - keine Angst, habe nur den Formeleditor benutzt: http://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\su…)
Ich setze für in den ersten Teil dann das k ein und in den zweiten das n.
0.5[1/(2*1-1)+1/1 - (1/(2n+1)+1/n)]
Ergibt mit dem limes n-> unendlich allerdings den Grenzwert 1.
Als Summenergebnis kommt aber 1/2 heraus. Irgendetwas stimmt also nicht. Sieht jemand den Fehler oder hat eine bessere Lösung?
MfG!
Disap
Hi,
Ich möchte die Summe (untere Grenze k=1, bis n) berechnen,
wobei n unendlich sein soll
Summe_(k=1)^(n) 0.5[1 / (2k-1)+ 1/k - ( 1/(2k+1) + 1/k)]
berechnen.
Ich wuerde an der Stelle schon mal das 1/k rausschmeissen, es steht ja effektiv ein Mal mit + und ein Mal mit - da. Der Faktor 0,5 kann auch vor die Summe. Dann hast Du ja richtig erkannt dass es sich dabei um eine Teleskopsumme handelt, so dass am Ende zwei Brueche ueberbleiben, also kann man sum(…)=1/(2*1-1)-lim(1/(2k+1)) fuer k gegen Unendlich schreiben, was im Ergebnis 1 ist, dann noch mit 0,5 multiplizieren und fertig ist.
Der Fehler den Du gemacht hast, ist IMHO: belaesst man die 1/k drin, handelt es sich dabei um keine echte Teleskopsumme mehr, die ersten Summanden sehen ja dann so aus:
[1+1-(1/3 + 1)]+[(1/3 + 1/2)-(1/5 + 1/2)]+… Jetzt muesste man in den eckigen Klammern jeweils 2 Summanden paarweise eliminieren, um eine echte Teleskopsumme zu bekommen, dann bekaeme man am Ende das richtige Ergebnis raus.
Hoffe das war jetzt irgendwie verstaendlich.
Gruss
Paul
Hi Disap.
Ich möchte die Summe (untere Grenze k=1, bis n) berechnen,
wobei n unendlich sein soll
Summe_(k=1)^(n) 0.5[1 / (2k-1)+ 1/k - ( 1/(2k+1) + 1/k)]
berechnen.
Ist es beabsichtigt, dass die Terme 1/k sich wegheben? So bleibt nur
S = (1/2) Sum_(k=1)^(n) [1/(2k-1) - 1/(2k+1)]
stehen. Dann heben sich die inneren Terme der Summe ueberkreuz gegeneinander weg und es bleiben nur die beiden Randterme stehen,
S = (1/2) * [1-1/(2n+1)].
Das geht fuer n &rarr &infin natuerlich gegen 1/2.
Gruss,
klaus