Grenzwert ohne L'Hospital?

Wissenschaft Physik
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Hallo,

ich habe zwei Aufgaben, die mit L’Hospital ganz einfach sind und beide gegen Null gehen. Weiß jemand wie ohne die Regel geht?

  1. Aufgabe: lim n/2^n (n gegen unendlich)
  2. Aufgabe: lim (1-1/4)*(1-1/9)*(1-1/16)*…*(1-1/n^2) (n gegen unendlich)

Dankeschön!

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Aufgabe 1 geht gegen null und Aufgabe 2 natürlich gegen 0,5!

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Hallo.

  1. Aufgabe: lim (1-1/4)*(1-1/9)*(1-1/16)*…*(1-1/n^2) (n
    gegen unendlich)

Nennen wir der Einfachheit halber obigen Ausdruck A(n), dann gilt vermöge der Produktentwicklung des Sinus:

http://de.wikipedia.org/wiki/Sinus#Produktentwicklung

limn →∞ A(n) = limx →1 sin(πx) / (πx(1-x2))

Substituieren wir x = 1 + ε, so gilt mit ε3 = 1 + ε - (1 + ε)3 ≈ 1 + ε - (1 + 3ε) = -2ε

Und für obigen Grenzwert folgt schließlich:

limn →∞ A(n) = limε →0 ε/2ε = 1/2

Gruß
Oliver

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hi anne,

ich habe zwei Aufgaben, die mit L’Hospital ganz einfach sind
und beide gegen Null gehen. Weiß jemand wie ohne die Regel
geht?

  1. Aufgabe: lim n/2^n (n gegen unendlich)
  2. Aufgabe: lim (1-1/4)*(1-1/9)*(1-1/16)*…*(1-1/n^2) (n
    gegen unendlich)

zu 1: naja: für größeres n (ab n = 6) ist nach dem binomischen lehrsatz 2^n = (1+1)^n = 1 + n.1 + (n über 2).1 + … + (n über n-2).1 + (n über n-1).1 + (n über n).1 =
= 1 + n.1 + (n über 2).1 + … + (n über 2).1 + n.1 + 1 >
> 2 + 2n + 2n(n-1)/2 = 2 + n + n^2

(potenzen steigen also schneller als quadrate.)

also „langfristig“:
n/2^n