Neu Frage, neues Glück! (-:
Wie kann ich beweisen dass,
Eine konvergente Folge besitzt genau einen Grenzwert.
Tja, vielleicht könnt ihr mir da helfen!
Ciao Stephan
Neu Frage, neues Glück! (-:
Wie kann ich beweisen dass,
Eine konvergente Folge besitzt genau
einen Grenzwert.
Ist das nicht per definitionem so?
Oder wie definierst du den Begriff „konvergent“?
Bobok Semjon.
Eine konvergente Folge besitzt genau
einen Grenzwert.Ist das nicht per definitionem so?
Oder wie definierst du den Begriff
„konvergent“?
Nein, das ist nicht so! Die Eindeutigkeit gehoert nicht zur Definition, weil sie in R automatisch folgt und in anderen Raeumen nicht gelten muss.
Allgemein ist ein Grenzwert nicht notwendig eindeutig. Die Eindeutigkeit des Grenzwertes gilt z.B. in einem Hausdorffraum. Wenn ihr die reellen Zahlen mit der ueblichen Topologie verwendet, habt ihr einen Hausdroffraum, und man kann dann die Eindeutigkeit von Grenzwerten zeigen.
Noch mal die Frage: Welches Analysis-Buch verwendet ihr, wo nicht der Beweis der Eindeutigkeit des Grenzwertes (in R) drinsteht?
Sherlock
Hi sherlock,
dann sag mir doch mal eine Definition von „Grenzwert“ und „konvergent“ in beliebigen Raeumen. Solange du das nicht machst, kannst du ja nichts behaupten.
Ich als Physiker lebe halt nur in hausdorffschen Raeumen und hab keine Erfahrung mit anderen.
bobok Semjon.
Nein, das ist nicht so! Die Eindeutigkeit
gehoert nicht zur Definition, weil sie in
R automatisch folgt und in anderen
Raeumen nicht gelten muss.
Allgemein ist ein Grenzwert nicht
notwendig eindeutig. Die Eindeutigkeit
des Grenzwertes gilt z.B. in einem
Hausdorffraum. Wenn ihr die reellen
Zahlen mit der ueblichen Topologie
verwendet, habt ihr einen Hausdroffraum,
und man kann dann die Eindeutigkeit von
Grenzwerten zeigen.Noch mal die Frage: Welches Analysis-Buch
verwendet ihr, wo nicht der Beweis der
Eindeutigkeit des Grenzwertes (in R)
drinsteht?Sherlock
Hi sherlock,
dann sag mir doch mal eine Definition von
„Grenzwert“ und „konvergent“ in
beliebigen Raeumen.
Ich heiße zwar nicht Sherlock, aber
ein Punkt ist Grenzwert/Häufungspunkt einer Folge/Menge, wenn in jeder Umgebung (dayu muß man eine Topologie haben) unendlich fast alle/unendlich viele Folgenglieder liegen. Wenn die Topologie nich Punkte trennen kann, wie es in einigen lokal konvexen Räumen vorkommt, dann kann es mehrere Punkte geben, die Grenzwert sind.
Konkret und einfach: Nimm die Ebene und als offene Mengen senkrechte Streifen (ohne Rand). Wenn eine Punktfolge konvergiert, dann ist jeder Punkt auf der vertikalen Linie durch einen Grenzwert ebenfalls Grenzwert, andererseits gibt es auch mehr konvergente Folgen als in der üblichen Topologie.
MfG Lutz