ich will für folgenden Term den Grenzwert berechnen:
sn = (Summenzeichen k=1 bis n) = 1/k(k+1), n Element aus N. wenn ich folgende Formel hab: sn = (Summenzeichen k=0 bis n) = z^k kann ich schreiben 1-z^(n+1)/1-z und damit weiter rechnen. Was ist jetzt aber dem ersten Term mit den k´1? kann ich da n+1 hinschreiben, oder wie gehe ich sowas an?
weiterhin will ich beweisen, dass an = (Summenzeichen k=1 bis n) = 1/k^2 eine Cauchy Folge ist. Hier habe ich wieder das Problem, dass k im Nenner steht. Was mache ich dami, bzw. wie gehe ich da vor?
ich will für folgenden Term den Grenzwert berechnen:
sn = (Summenzeichen k=1 bis n) = 1/k(k+1), n Element aus N.
Ich verstehe zwar nicht, was das = nach dem Summenzeichen soll, aber ich gehe davon aus, dass Du sum_{k=1}^{n}1/(k(k+1)) meinst. Der Trick ist den Summanden als (1/k)-(1/(k-1)) zu schreiben. Dann gilt also sum_{k=1}^{n}1/(k(k+1)) =sum_{k=1}^{n}((1/k)-(1/(k-1)) =sum_{k=1}^{n}1/k-sum_{k=1}^{n}1/(k+1) =sum_{k=1}^{n}1/k-sum_{k=2}^{n+1}1/k =1-1/(n+1). Der letzte Schritt gilt, da von der ersten Summe das Glied zum Index k=1 und von der zweiten Summe das Glied zum Index k=n+1 übrigbleibt. Grenzübergang n->oo ergibt den Grenzwert 1.
wenn ich folgende Formel hab: sn = (Summenzeichen k=0 bis n) =
z^k kann ich schreiben 1-z^(n+1)/1-z und damit weiter rechnen.
Was ist jetzt aber dem ersten Term mit den k´1? kann ich da
n+1 hinschreiben, oder wie gehe ich sowas an?
Ich verstehe zwar nicht alles, was Du hier schreibts. Aber es gilt für z1 sum_{k=0}^{n}z^k =(1-z^{n+1})/(1-z), was sich leicht mit Induktion beweisen lässt. Ich würde übrigens unbedingt die Klammern schreiben, weil streng nach Konvention Dein Ausdruck nicht gleich meinem ist. Aus dieser Formel ergibt sich der Grenzwert direkt:
Falls |z|
Zumindest zur Cauchy Folge kann ich einen geringen Beitrag
leisten: (Otto Forster Analysis I Seite28)
|a(m)-a(n)| |a(n)-a(m)|=|(a(n)-a)-(a(m)-a)|0 ein Index n(eps) existiert, so dass |a(n)-a(m)|=n(eps).
Dann versuchst Du zu zeigen, dass jede konvergente Folge auch eine Cauchyfolge ist. Wobei der Beweis wie er hier steht, wohl kaum so im Forster steht. Ich habe leider im Moment kein Exemplar zur Hand, um das nachzuprüfen, aber ich kann mir kaum vorstellen, dass Du den Beweis komplett übernommen hast. Es fehlen wesentliche Teile.
Es ist allgemeinen ja nicht zu beanstanden, dass man von gewissen Beweisen nur die Idee übernimmt, aber damit man das kann, muss man zuerst den Beweis selbst verstanden haben. Und dann sieht man auch, was wirklich wesentlich ist, damit man die Beweisidee vermitteln kann, damit der „Leser“ auch mitkriegt worum es geht.
Gruss Urs
P.S. An alle die den korrekten Beweis sehen wollen, empfehle ich ein einführendes Buch in Analyis (z.B. Forster: Analysis I, neben vielen anderen)
Ich weiss selbst, dass ich die Definition der Cauchy-Folge ‚unterschlagen‘ habe und selbige im Forster genau über dem Beweis steht. Das habe ich mit „geringen Beitrag“ auch angedeutet. Ausserdem wage ich zu behaupten, dass es auch unter Mathematikern ‚keine Sau‘ interessiert wenn da jemand eine richtige Lösung präsentiert, OBWOHL das Verständnis für die Definition mitsamt dem Beweis der Lösungsmethode bestenfalls intuitiver Natur waren. Profan gesagt: „Entscheidend ist was hinten rauskommt“. I.A. wird von einer richtigen Lösung auf das 100%-ige Verständnis der Methode geschlossen und nicht umgekehrt…
Ausserdem wage ich zu behaupten, dass es auch
unter Mathematikern ‚keine Sau‘ interessiert wenn da jemand
eine richtige Lösung präsentiert, OBWOHL das Verständnis für
die Definition mitsamt dem Beweis der Lösungsmethode
bestenfalls intuitiver Natur waren. Profan gesagt:
„Entscheidend ist was hinten rauskommt“.
Ich kann Deine Aussagen nicht einfach stehen lassen. Und ich wage es als diplomierter Mathematiker, der inzwischen seit vier Jahren in der Forschung arbeite, hier für einen nicht unwesentlichen Teil (ich bin der Meinung, den grössten Teil) der forschenden Mathematiker zu sprechen.
Erstens muss man zwischen mathematisch korrekten Aussagen und der Anschauung dazu unterscheiden. Die Mathematik basiert letzten Endes darauf, dass alle Begriffe eine ganz klare Definition haben, bzw. ich präzise in der Sprache der Mathematik sage, was ich genau darunter verstehe. Erst dies ermöglicht es, wirklich zu entscheiden, ob ein mathematisches Objekt eine konkrete Eigenschaft hat oder eben nicht. Mit einer Definition verbindet man oft auch eine Anschauung, die es einem erlaubt ein gewisses Gefühl zum Umgang mit diesen Begriffen zu entwickeln und auch ein gewisses Verständnis dafür. Man ist damit auch in der Lage, gewisse Ideen zu entwickeln, wie gewisse vermutete Tatsachen bewiesen werden können. Aber was am Schluss nur zählt, ist ein korrekter Beweis, aufbauend auf präzisen Definitionen.
Um auf Deine „Defintion“ einer Cauchyfolge zurückzukommen, mangelt es bei Deinem Versuch eben genau am eigentlich Verständnis. Es ist nicht einmal die Grundidee hinter der Definition (späte Glieder der Folge sind sehr nahe zusammen, sehr salopp gesagt) erkennbar. Noch kann jemand, der keine Ahnung davon hat, was eine Cauchyfolge ist, daraus die korrekte Definition ableiten, geschweige denn damit die gestellte Aufabe lösen.
I.A. wird von einer
richtigen Lösung auf das 100%-ige Verständnis der Methode
geschlossen und nicht umgekehrt…
Also ich versuche das Ganze hier nicht zur Anischtsdebatte verkommen zu lassen, dafür kann der email-Verkehr herhalten.
ICH habe NICHT geschrieben, dass mein Teilansatz gleich der Weisheit letzter Schluss wäre. Aber auch ein Nicht-Mathematiker kann eine Suchmaschine mit den Schlagworten „Cauchy Folge Definition“ füttern und mit etwas Glück auch ein analoges Beispiel für die zu lösende Rechenaufgabe entdecken. Google: 8300 Treffer. Das dazu.
I.A. wird von einer
richtigen Lösung auf das 100%-ige Verständnis der Methode
geschlossen und nicht umgekehrt…
Das verstehe ich nicht. Kannst Du mir helfen?
Ich versuch’s mal anhand von Beispielen:
ein kleines Kind kann perfekt seine Muttersprache sprechen und hat von Grammatik keine Ahnung. Nach aussen sieht die Sache aber umgekehrt aus: perfekt in Grammatik -> perfekt in der jeweiligen Sprache
jemand rechnet 2+7 mod 5=4 -> „Aha, die Person beherrscht die Additionsgesetze samt Modulorechnung“
usw…
Obwohl das NUR für die eine Situation gilt, nicht zwangsläufig für das Generelle !!!
Ausserdem bin ich nicht gegen Grundlagenwissen, nur wird Mann/Frau dieses bei einer Präsentation/Rechnung/etc… wohl kaum in aller Tiefe anbringen. Wer hat schliesslich schon mal einen Satz wie den folgenden gehört „…Vor den Ergebnissen unserer Analyse will ich Ihnen noch schnell die mathematischen Grundlagen des Verfahrens der nichtlnearen Regressionsanalyse in allen Einzelheiten erläutern…“. Das dürfte selbst in einer Gruppe von Nur-Mathematikern nicht üblich sein, schon weil auch hier unterschiedliche Interessen auch unterschiedliche Schwerpunkte (und damit Interesse beim Auditorium) setzen dürften.
Tja, die Mathematik hat eben den Vorteil der Eindeutigkeit. Sprache nicht Aber es hat eben nicht jeder Mathematik studiert…
Also ich versuche das Ganze hier nicht zur Anischtsdebatte
verkommen zu lassen, dafür kann der email-Verkehr herhalten.
ICH habe NICHT geschrieben, dass mein Teilansatz gleich der
Weisheit letzter Schluss wäre. Aber auch ein
Nicht-Mathematiker kann eine Suchmaschine mit den Schlagworten
„Cauchy Folge Definition“ füttern und mit etwas Glück auch ein
analoges Beispiel für die zu lösende Rechenaufgabe entdecken.
Google: 8300 Treffer. Das dazu.
Dann lass doch Aussagen wie
…, dass es auch unter Mathematikern ‚keine Sau‘ interessiert wenn…
Profan gesagt: „Entscheidend ist was hinten rauskommt“
weg. Und Pseudodefinitionen, die niemandem helfen, bringen auch nichts. Da ist eine Suche in Google tausend mal wertvoller. Und nehme für mich in Anspruch auf derartige Aussagen reagiern zu dürfen.
I.A. wird von einer
richtigen Lösung auf das 100%-ige Verständnis der Methode
geschlossen und nicht umgekehrt…
Das verstehe ich nicht. Kannst Du mir helfen?
Ich versuch’s mal anhand von Beispielen:
ein kleines Kind kann perfekt seine Muttersprache sprechen
und hat von Grammatik keine Ahnung. Nach aussen sieht die
Sache aber umgekehrt aus: perfekt in Grammatik -> perfekt
in der jeweiligen Sprache
jemand rechnet 2+7 mod 5=4 -> „Aha, die Person beherrscht
die Additionsgesetze samt Modulorechnung“
usw…
Obwohl das NUR für die eine Situation gilt, nicht zwangsläufig
für das Generelle !!!
Geb ich Dir recht. Ich sehe nicht in den anderen hinein. Da wären wir bei einem bekannten Problem der künstlichen Intelligenz. Das gehört aber nicht hierhin.
…mal unter Kollegen
…in meinen Augen hat Markus L. mit seinem Cauchy-Posting versucht, einen Lösungsweg anzubieten: nämlich die Reihe über 1/k^2 als konvergent zu zeigen und anschließend die Implikation „konvergente Folge -> Cauchy-Folge“ zu verwenden.
(Ich denke mir trotzdem, daß der Aufgabensteller [Prof, Assi] die Konvergenz lieber direkt an der Definition der Cauchy-Folge gezeigt haben wollte…)
Auch ich bin 'ne ganze Weile in der Forschung und Lehre tätig und weiß dennoch(?), daß in solchen Diskussionsforen es mit der Sprachpräzision nicht genau genommen wird - aus diesem Grund packe ich äußerst selten die pädagogische Keule aus…
Ich verstehe zwar nicht, was das = nach dem Summenzeichen
soll, aber ich gehe davon aus, dass Du sum_{k=1}^{n}1/(k(k+1))
meinst. Der Trick ist den Summanden als (1/k)-(1/(k-1)) zu
schreiben. Dann gilt also sum_{k=1}^{n}1/(k(k+1))
=sum_{k=1}^{n}((1/k)-(1/(k-1))
=sum_{k=1}^{n}1/k-sum_{k=1}^{n}1/(k+1)
=sum_{k=1}^{n}1/k-sum_{k=2}^{n+1}1/k =1-1/(n+1). Der letzte
Schritt gilt, da von der ersten Summe das Glied zum Index k=1
und von der zweiten Summe das Glied zum Index k=n+1
übrigbleibt. Grenzübergang n->oo ergibt den Grenzwert 1.
Nur die Aufgabe verstehe ich nicht ganz. Kann man das nicht irgendwie einfacher ausdrücken? Mit Epsilon und der Dreiecksgleichung? weil das verstehe ich nicht ganz.
Es ist nicht ganz einfach Rezepte anzugeben, die immer
funktionieren. Ein guter Ansatz ist aber, dass man das
sogenannte Majorantenkriterium anwendet. Dazu muss man zeigen,
dass die Folgenglieder ab einem Index durch die Folgenglieder
einer konvergenten Reihe abgeschätzt werden können. Dann ist
die ursprüngliche Reihe konvergent und die Partialsummen
bilden eine Cauchy-Folge.
Diese Idee klappt in diesem Fall:
sum_{k=1}^{n}1/k^2
Nur die Aufgabe verstehe ich nicht ganz. Kann man das nicht
irgendwie einfacher ausdrücken? Mit Epsilon und der
Dreiecksgleichung? weil das verstehe ich nicht ganz.
Mir ist nicht ganz klar, was Du nicht verstehst.
a) meine Rechnungen?
b) Das Majorantenkriterium (Formulierung oder wie ich es anwende)?
c) Weshalb mit der Konvergenz der Reihe auch gezeigt ist, dass es sich um eine Cauchyfolge handelt?
Aber es hat eben nicht jeder Mathematik studiert…