Hallo Jungs und Mädels!!
Hab da ein Problem mit einer Grenzwertberechnung:
http://mitglied.lycos.de/energizer22/grenzaufg.jpg
Die Lösung sei ½ . Ich hab hier ja einen Typ „0/0“.
Also mit dem Hauptnenner durch multiplizieren hab ich schon versucht, da komm ich nicht weiter:
http://mitglied.lycos.de/energizer22/umgestellt.jpg
Tja- mit L´Hospital kann ich im Moment nichts anfangen, da ich ja eine Summe hab. Oder geht das hier trotzdem? Wenn ja, wie? Und komm ich so auf die Lösung?
Ahhhhhhh!!!
Wie peinlich! Hab falsch durchmultipliziert!
Danach siehts natürlich so aus:
http://mitglied.lycos.de/energizer22/richtig.jpg
Und dann kann ich zwei mal mit L´Hospital ableiten, dann gehts…
Alternativ:
Hallo energizer,
alternativ zum l’Hopital kann man das auch so machen:
lim(1/x-1/(e^x-1), x=0)
=lim[(e^x-1-x)/(x*(e^x-1)), x=0]
=lim[(1+x+x^2/2+x^3/6+O(x^4)-1-x)/(x*(1+x+x^2/2+x^3/6+O(x^4)-1)), x=0]
=lim[(x^2/2+x^3/6+O(x^4))/(x^2+x^3/2+O(x^4))
=lim[(1/2+x/6+O(x^2))/(1+x/2+O(x^2))
=1/2.
Hierbei wird die Darstellung (Definition) der Exponentialfunktion
e^x=exp(x)=sum(x^n/n!, n=1…∞)
verwendet und die Tatsache, dass der Grenzwert eines Quotienten zweier Polynomfunktionen anhand der Koeffizienten der niedrigsten Potenzen bestimmt wird. Sind die Exponenten der niedrigesten Potenzen gleich, so ist der Grenzwert (für x gegen 0) gleich dem Quatienten der Koeffizienten dieser niedrigsten Potenzen. Ist der niedrigste Exponent im Zähler größer als im Nenner, so ist der GW Null und ist der niedrigste Exponent im Zähler kleiner als derjenige im Nenner, so divergiert der Bruch an der Stelle 0.
Viele Grüße
Jens
zweimal Hospital
Wenn Du zweimal Hospital anwendest gehts auch:
e^x - 1 - x
---------------- „=“ 0 durch 0
xe^x -x
e^x - 1
------------------ „=“ 0 durch 0
xe^x + e^x -1
e^x
---------------- -> 1/2 für x -> 0
xe^x + 2e^x
Gruss
Michi
