Hallo!
Ich habe folgendes Problem:
es soll der Grenzwert lim x->unendlich für eine Funktion berechnet werden, bei der die Variable x sowohl in der Basis, als auch im Exponenten steht:
Bsp: ((x+2)/(x-7))^2x
Ich denke, dass ich auf etwas kommen soll der Form (1+a/x)^x = e^a
aber ich finde trotz Stunden des Probierens nicht den richtigen Lösungsweg. (Lösung ist e^18)
ich hoffe mir kann jemand helfen.
Mfg
hunter87
Hi
ersetze y=x-7 oder x=7+y und bestimme dann den Grenzwert.
Oder kürze in der großen Klammer x und zerlege dann in zwei Grenzwerte.
Gruß, Lutz
Bsp: ((x+2)/(x-7))^2x
Ich denke, dass ich auf etwas kommen soll der Form (1+a/x)^x =
e^a
Ja, das funktioniert:
\left(\frac{x+2}{x-7}\right)^{2x}=\left(1+\frac9{x-7}\right)^{2x}
Wenn der Grenzwert existiert, können wir (1+9/(x-7))^(-14) heranmultiplizieren, da das gegen 1 konvergiert.
\left(1+\frac9{x-7}\right)^{2(x-7)}=\left(\left(1+\frac9{x-7}\right)^{x-7}\right)^2\to \left(e^9\right)^2=e^{18}
Alternativ könnte man e^(ln((x+2)/(x-7))2x) schreiben, den Limes in den Exponenten ziehen, x durch 1/x ersetzen (von oben gegen 0) und l’Hospital anwenden.
mfg,
Ché Netzer
Danke für eure Antworten. Haben beide funktioniert!