Hallo.
Vermutlich ist es die typische Grenzwertaufgabe schlecht hin, dass eine Exponentialfunktion schneller wächst als x…oder x^5 etc. (für x gegen Unendlich).
Ich selbst kann nicht beweisen, dass x^2 schneller wächst als x. Daher bringt mir mein erster Gedanke auch nichts, für a^x eine Taylorreihenentwicklung zu machen. Wobei die Taylorreihe bei mir auch schon ein paar Tage her ist, sodass ich gar nicht weiß, ob man die jetzt allgemein für das a auch machen kann.
Ich möchte hier auch nicht die L’Hospital anwenden (folgern, dass a^x schneller wächst als x, wenn für x gegen unendlich: a^x/x = unendlich)
Frage also, wie kann man beweisen, dass a^x schneller wächst als x für x gegen unendlich?
Viele Grüße
Disap
Hallo,
Ich selbst kann nicht beweisen, dass x^2 schneller wächst als
x.
So schwer ist das nicht. (Alle Limes lassen x gegen Unendlich gehen):
lim x/x² = lim 1/x = 0.
Damit hast du das schon gezeigt.
Daher bringt mir mein erster Gedanke auch nichts, für a^x
eine Taylorreihenentwicklung zu machen. Wobei die Taylorreihe
bei mir auch schon ein paar Tage her ist, sodass ich gar nicht
weiß, ob man die jetzt allgemein für das a auch machen kann.
Du kannst z.B. a^x = exp(x * log(a)) schreiben, und dann eine Variablentransformation y = x * log(a) machen. Dann hast du
exp(y) als Funktion, und kannst die wunderbar bequem entwickeln.
Ich möchte hier auch nicht die L’Hospital anwenden (folgern,
dass a^x schneller wächst als x, wenn für x gegen unendlich:
a^x/x = unendlich)
Ich kenn die anders: Wenn lim f(x) = unendlich und lim g(x) = unendlich, dann ist
lim f(x) / g(x) = lim f’(x) / g’(x)
Frage also, wie kann man beweisen, dass a^x schneller wächst
als x für x gegen unendlich?
Erstmal gilt das natürlich nur für a > 1.
Dann kann man z.B. die oben angesprochene Entwicklung machen:
f(y) = exp(y)
und g(x) = x => g(y) = y / log(a)
Damit ist
lim g(y) / f(y) = y / (1 + y + 1/2 y² + …)
= lim 1 / (1/y + 1 + 1/2 y + …)
Der erste Term im Nenner geht gegen Null, alle ab dem dritten Term gehen gegen unendlich, als ist der Grenwert Null.
QED.
Grüße,
Moritz
Kleine Verbesserung:
Damit ist
lim g(y) / f(y) = y / (1 + y + 1/2 y² + …)
= lim 1 / (1/y + 1 + 1/2 y + …)
Da fehlt jeweils noch ein Faktor von 1/log(a), aber das ändert nichts an der Mathematik dahinter. Wer braucht schon konstante Vorfaktoren…
Grüße,
Moritz
Hi!
Was für eine Fragestellung war denn genau am Anfang gegeben??
Frage also, wie kann man beweisen, dass a^x schneller wächst
als x für x gegen unendlich?
naja für diese konkrete Frage kann man denke ich über die Ableitung gehen.
Ableitung 1: ln(a)*a^x
Ableitung 2: 1
Jetzt lim x gegen unendlich Ableitung 1 > Ableitung 2
=>lim xgegen undendlich ln(a)*a^x>1
gilt für alle a>1
(für 0
Guten Morgen.
Dass mit dem a>1 macht durchaus Sinn, guter Hinweis!
Ich kenn die anders: Wenn lim f(x) = unendlich und lim g(x) =
unendlich, dann ist
lim f(x) / g(x) = lim f’(x) / g’(x)
Das meinte ich auch so, war nur sehr schlecht ausgedrückt.
Erstmal gilt das natürlich nur für a > 1.
Dann kann man z.B. die oben angesprochene Entwicklung machen:
f(y) = exp(y)
und g(x) = x => g(y) = y / log(a)
Damit ist
lim g(y) / f(y) = y / (1 + y + 1/2 y² + …)
= lim 1 / (1/y + 1 + 1/2 y + …)
Das würde sich auch auf das Beispiel [(x)!]/[a^x] übertragen, oder?
D.h. es gilt wieder y= x*log b
Dann haben wir
f(x) = e^(log(b)*x)
g(x) = x! = (x*[log(b)]/[log(b)]!
Mit y=x*log(b) ergibt sich dann
f(y) = e^y
g(y) = (y/log(b))!
Folglich
lim g(y)/f(y) = [y*log(b)]/[1]*[y*log(b)-1]/[y]*[y*log(b)-2]/[0.5y^2]*…
Also müsste der Grenzwert für x gegen Unendlich (bzw. Y gegen Unendlich) gegen Null laufen, oder?
Liebe Grüße
Disap
Hallo,
Das würde sich auch auf das Beispiel [(x)!]/[a^x] übertragen,
oder?
D.h. es gilt wieder y= x*log b
Dann haben wir
f(x) = e^(log(b)*x)
g(x) = x! = (x*[log(b)]/[log(b)]!
Mit y=x*log(b) ergibt sich dann
f(y) = e^y
g(y) = (y/log(b))!
Folglich
lim g(y)/f(y) =
[y*log(b)]/[1]*[y*log(b)-1]/[y]*[y*log(b)-2]/[0.5y^2]*…
Huch? Wie bist du denn darauf gekommen?
Wenn wir die ganzen konstanten Faktoren von log(b) weglassen (also a=e setzen), haben wir
lim e^x / x! = (1 + x + 1/2 x² + 1/6 x³ + …) / (1 * 2 * 3 * … * x)
Damit kommst du nicht viel weiter.
Du kannst aber die Stirling-Formel für die Fakultät anwenden:
x! = sqrt(2 pi x) * (x/e)^x (gilt nur ungefähr), daran sieht man schon, dass die Fakultät schneller wächst.
Grüße,
Moritz
Moin.
Huch? Wie bist du denn darauf gekommen?
Nach dem selben Prinzip wie bei der vorherigen Aufgabe. Hat bloss leider nicht ganz gepasst…
Und dann ahbe ich noch log b mit log a vertauscht.
Wenn wir die ganzen konstanten Faktoren von log(b) weglassen
(also a=e setzen), haben wir
lim e^x / x! = (1 + x + 1/2 x² + 1/6 x³ + …) / (1 * 2 * 3 *
… * x)
Damit kommst du nicht viel weiter.
Du kannst aber die Stirling-Formel für die Fakultät anwenden:
x! = sqrt(2 pi x) * (x/e)^x (gilt nur ungefähr), daran sieht
man schon, dass die Fakultät schneller wächst.
Woran sieht man das denn? also ich würde (x/e)^x erst einmal umformen zu x^x*e^(-x)
Wenn wir das haben, dann steht da ja
x! = sqrt(2 pi x) * [x^x]/[e^x]
Also bleibt bei e^x/x!
= {e^x}/{sqrt(2 pi x) * [x^x]/[e^x]} dieses x^x/e^x können wir ja noch "verändern, indem ich das e^x in den zähler schreibe, erhalte dann also:
[e^x*e^x]/[sqrt(2 pi x)*x^x] = [e^(2x)]/[sqrt(2 pi x)*x^x]
Das würde ja bedeuten, x^x wächst schneller als e^(2x)
Tut es das?
Wie würde ich das denn zeigen? Taylorreihe? Wird ein bisschen schwierig, dann x^x ein paar Mal abzuleiten 
Beste Grüße
Disap
Grüße,
Moritz